诺贝尔物理学奖（一）1901：伦琴，和一种看不见的光

配套视频（YouTube）：英文原声，可切换中文配音，中英字幕

这个系列的起点，是我的一位老师。他总愿意在朋友圈里和大家分享点什么。

我不是专家，也不是教授，只是一个喜欢科学的人。在人工智能的时代里，我常常感到迷茫，但我没有放弃自己热爱的事。

这个系列献给同样迷茫的人：献给敢于面对未知的人，献给走进未知去探索的人，也献给那些从未停下脚步、一直朝着梦想走的人。

也让我们不要忘记那些先驱者。

1895 年 11 月，维尔茨堡大学物理所里，一张纸屏在黑暗中自己亮了起来。这一集先讲伦琴看到了什么、他是个什么样的人、消息怎么传开，再讲今天怎么解释它，最后讲六年后的那个奖，和围绕这个发现的那场争执。

1895 年冬天，维尔茨堡

诺贝尔奖官方的伦琴传记写的是，1895 年 11 月 8 日晚上，威廉·康拉德·伦琴（Wilhelm Conrad Röntgen）在维尔茨堡大学物理所里摆弄一支放电管。这类管子当时很多人在用：玻璃管抽成接近真空，两头加上高压，管里会出现一种叫阴极射线的东西，打在玻璃壁上让它发出荧光。伦琴把管子用黑色薄纸板包得严严实实，按理说什么光都透不出来，可是旁边一张涂了氰亚铂酸钡的纸屏亮了，拿到两米外还在亮。

接下来的几个星期，他一个人做了大量实验。纸、一千页的厚书、两三厘米厚的木板都挡不住它；薄的金属片也能透过，金属越厚、越重，挡得越多，一毫米半厚的铅就几乎不透了。12 月 28 日，他把一篇论文作为稿件交给维尔茨堡物理医学会，题目是《论一种新的射线（初步报告）》（Ueber eine neue Art von Strahlen, Vorläufige Mittheilung）。论文第二节里有一句：把手放在放电管和荧光屏之间，就能看到手骨较暗的影子，周围是手的较淡的轮廓。同一页有个脚注，他说为了简便，也为了和别的射线区分开，暂且把它叫作「X 射线」。

手放在管子和荧光屏之间，屏上出现手骨的影子；右边是伦琴寄给同行的那张「带戒指的手」。

图 1　手放在管子和荧光屏之间，屏上出现手骨的影子；右边是伦琴寄给同行的那张「带戒指的手」。

这篇论文一张插图都没有。手骨只出现在文字里。

现在大家都见过的那张手骨照片，手指上戴着戒指，拍的是他夫人安娜·贝尔塔（Anna Bertha Röntgen）的手。好几家博物馆都把日期著录为 1895 年 12 月 22 日，但目前找不到任何一手凭据能证明这个日期，照片原件上只写着「带戒指的手，§2 和 §14」，指的是论文的两节。也没有哪家博物馆著录过这次曝光的底片。现存的是伦琴自己印的几张纸基照片，1896 年元旦前后随论文抽印本一起寄给了几位同行，现在分别藏在德国伦琴博物馆、伦敦的 Wellcome 收藏和荷兰的 Teylers 博物馆等处。至于她看到照片时说的那句「我看见了自己的死亡」，我们查到的最早直接引语是 2010 年的一篇博客，没有注出处，更早的印刷品没有查全。伦琴的传记作者格拉瑟（Otto Glasser）1945 年的书里只写，她想到自己看到的是骨架，心里打了个寒颤。

目前能查到最早印出来的，是 1896 年 1 月 23 日的英国《自然》（Nature）杂志，图注写着：活人手指的骨头，第三根手指上戴着一枚戒指。图注没说是谁的手，但从裁切看，就是这一张。

同一天，伦琴在维尔茨堡物理医学会做了一场讲演。学会的会议纪要记下了当时的情形：他当场给学会的名誉主席、解剖学家冯·克利克（Albert von Kölliker）的右手拍了一张骨骼的影像。克利克随后提议，把这种新射线叫作「伦琴射线」，全场欢呼。

伦琴这个人

讲这道光之前，先把他这一生大致排一遍。每一条后面是出处，几种说法对不上的地方，我们把几种都写出来。

1845 年 3 月 27 日　生于普鲁士莱茵省的伦内普（Lennep，今属雷姆沙伊德），家里的独子。父亲是布商，也开呢绒厂；母亲来自阿姆斯特丹。〔诺贝尔奖官方传记；《新德意志传记》〕
1848 年　全家迁居荷兰的阿珀尔多伦（Apeldoorn），他在当地一所寄宿学校上学。〔官方传记；《新德意志传记》〕
1862 年　进乌得勒支的一所技术学校（维尔茨堡大学档案馆作 1861 年），没拿到毕业证就离开了。官方传记说，他是被冤枉画了老师的漫画，才被开除的；乌得勒支大学的说法是他没通过毕业考试；慕尼黑大学的科学史家 2023 年写道，漫画的说法并没有凭据。离校的年份，各家写的也不一样，有 1863 年，也有 1864 年。〔官方传记；乌得勒支大学；《新德意志传记》；维尔茨堡大学档案馆；慕尼黑大学 2023〕
1865 年　年初在乌得勒支大学做旁听生，不能参加考试；同年冬天进苏黎世联邦理工学院（今天的 ETH），读机械。〔乌得勒支大学；苏黎世大学〕
1868 年　拿到机械工程师文凭。在苏黎世读书时，他听过克劳修斯（Rudolf Clausius）的课，也进了孔特（August Kundt）的实验室。〔官方传记；《新德意志传记》；苏黎世大学；格拉瑟〕
1869 年　以一篇研究气体的论文，在苏黎世大学获得博士学位（《新德意志传记》写作 1870 年）。之后做孔特的助手，1870 年跟着他到了维尔茨堡。〔苏黎世大学；维尔茨堡大学档案馆；格拉瑟〕
1872 年　1 月 19 日在阿珀尔多伦和安娜·贝尔塔·路德维希（Anna Bertha Ludwig）结婚；4 月又跟着孔特到新建的斯特拉斯堡大学。〔阿珀尔多伦 1872 年婚姻登记（档案馆索引）；《新德意志传记》；格拉瑟〕
1874–1879 年　1874 年在斯特拉斯堡取得授课资格（《新德意志传记》写作 1873 年）；1875 年任霍恩海姆农学院的物理和数学教授；1876 年回斯特拉斯堡做物理学副教授；1879 年任吉森大学物理学正教授。〔官方传记；《新德意志传记》；格拉瑟〕
1888 年　任维尔茨堡大学物理学教授，兼物理所所长；1893 或 1894 年当选校长（维尔茨堡大学档案馆作 1893 年，格拉瑟作 1894 年）。1895 年 11 月 8 日晚上的事，就发生在这个物理所里。〔《新德意志传记》；维尔茨堡大学档案馆；格拉瑟〕
1900 年　应巴伐利亚政府之请，到慕尼黑大学任实验物理学教授，兼物理所所长。〔《新德意志传记》；慕尼黑大学；官方传记〕
1901 年 12 月 10 日　在斯德哥尔摩领取第一届诺贝尔物理学奖。〔诺贝尔奖官方〕
1919–1923 年　1919 年妻子去世；1920 年春退休；1923 年 2 月 10 日在慕尼黑去世。骨灰按他的意愿，和父母、妻子一起葬在吉森的老公墓。〔官方传记；《新德意志传记》；吉森大学；讣告，影印于格拉瑟书中〕

消息怎么传开

论文交出去以后，消息传得非常快。1896 年 1 月 5 日，维也纳的《新闻报》（Die Presse）在头版登出「一个轰动的发现」，报上把伦琴的名字印成了 Routgen。

最着急的是医生。1 月 24 日，维也纳的外科医生莫泽蒂希（v. Mosetig-Moorhof）在维也纳医师学会报告了两个病例，其中一个病人左手掌里有一颗 6 毫米的铅弹，位置是靠一张伦琴照片找到的。

在加拿大的蒙特利尔，一个人在 1895 年圣诞节那天晚上腿上中了一枪。1896 年 2 月 7 日，物理学家考克斯（Cox）给他的腿照了 45 分钟，片子上那颗压扁的子弹卡在胫骨和腓骨之间。第二天，外科医生柯克帕特里克（Kirkpatrick）开刀，把子弹取了出来。同年 5 月，《蒙特利尔医学杂志》的社论写道，这是最早把这种新照片当作证据带上法庭的案例之一，开枪的人被判了十四年。

这一年，X 射线成了街头巷尾的话题。纽约的《Life》杂志登了一幅漫画，题目是「新的伦琴摄影：请笑一笑」，照相底片上拍出来的是一具拿着镰刀的骷髅。2 月，新泽西州的议员里德（Reed）在州议会提出议案，禁止在剧院里使用 X 射线或阴极射线做的观剧望远镜，议长裁定议案不合程序。

格拉瑟 1931 年编的文献目录里，单是 1896 年这一年，关于 X 射线的书和小册子就列了 49 种，期刊文章列了将近一千条。

5 月，纽约的全国电气博览会上，爱迪生摆了一个 X 光展台，观众两人一组，排着队进去用荧光屏看自己的手骨。据《电气评论》的报道，操作机器的是爱迪生实验室的几位助手：奥特（Fred Ott）、布朗（Charles Brown）和达利（Clarence Dally）。

可是很快，人们发现这种射线并不是无害的。这年 2 月，美国范德堡大学的物理实验室接到请求，要找出一个意外中枪的孩子头里的子弹。2 月 29 日，丹尼尔（John Daniel）和达德利博士（Wm. L. Dudley）决定先试一试：达德利拿自己的头当试验品，管子离头发约半英寸，照了一个小时。3 月 23 日，丹尼尔写信给《科学》杂志：底片上什么也没照出来，可是试验后第 21 天，被照到的那一块头发全掉了。

达利后来长年做 X 光实验，手指和两条胳膊被一截一截地截掉。1903 年 8 月，《纽约时报》报道，爱迪生两年多前做实验时，眼睛也被照伤过；同一个月，他对记者说：「别跟我谈 X 射线，我怕它们。」1904 年 10 月 2 日，达利去世，《纽约时报》的标题是：为科学殉难。

科学的发展，有时候并不是完全无害的。最先付出代价的，往往是离它最近的人。

那是什么光

伦琴自己不知道。1901 年的颁奖演说也说得很老实：这种辐射究竟是什么，现在还不清楚。

今天的回答是这样的。管子两端的高压把电子加速，电子带着动能撞到玻璃壁上。绝大部分能量变成了热，但有一小部分，是电子在原子核附近被猛地拽偏、减速时放出来的光。这种光叫韧致辐射，德语的意思就是「刹车辐射」。电子被刹得有轻有重，放出的光能量就有高有低，所以 X 射线的谱是连续的一片。

电子在原子核附近被拽偏、减速，放出一个光子：刹车辐射。

图 2　电子在原子核附近被拽偏、减速，放出一个光子：刹车辐射。

这片连续谱有一个很奇怪的地方：它有一道截然的上限（电压忽高忽低时，上限由最高的那一刻决定）。加速电压是 V，电子的动能最多是 eV，放出的光能量也就最多到 eV，再往上一点都没有。换成波长，就是有一个最短波长 λ_min = hc/eV。比如电压 30 千伏，最短波长是 0.041 纳米；电压加到 100 千伏，最短波长缩到 0.012 纳米。按经典电磁学，加速的电荷辐射出来的应该是一片平滑的谱，不会有这么一道硬边：能量守恒只管辐射出去的总能量，管不到频率，任何频率都可以只带走一点点能量。这道边说的是，能量是一份一份交换的：频率为 ν 的光，每次至少要拿走 hν 的能量，而一个电子最多只有 eV 可给，频率就被卡住了。这件事要到后来才被人想明白。至于光本身是不是由一个个粒子组成，单凭这道边还说明不了。光由光子组成这个看法被普遍接受，是康普顿散射以后的事，留到那一集再讲。

刹得有轻有重，光子能量有高有低，攒成一片连续谱；最右边是一道硬边，能量到 eV 为止。

图 3　刹得有轻有重，光子能量有高有低，攒成一片连续谱；最右边是一道硬边，能量到 eV 为止。

电压从 30 千伏升到 100 千伏，最短波长从 0.041 纳米缩到 0.012 纳米。

图 4　电压从 30 千伏升到 100 千伏，最短波长从 0.041 纳米缩到 0.012 纳米。

还有一处细节要说清楚。伦琴用的是冷阴极的放电管，管子里没有金属靶。他在论文第十二节写，X 射线是从阴极射线打在玻璃壁上的那块地方发出来的，他还用磁铁把阴极射线挪开，发射点也跟着挪了。几个月后，1896 年初，他才换上铂片做靶。今天医院里那种热灯丝、钨靶的 X 光管，是更晚的东西。他那支管子用的什么玻璃，论文里没写，据收藏界的二手说法，这类管子一般是钠钙玻璃。硅、氧、钠、钙这些轻元素，自己的特征谱线能量都很低，会被管壁吸收掉，所以只要玻璃里没有铅这样的重元素，伦琴看到的就基本上全是刹车辐射。

为什么照得出骨头

单一能量的 X 射线穿过一层东西，强度按指数衰减：每穿过同样薄的一层，就损失同样的比例。衰减得快还是慢，看材料本身。骨头为什么比肉暗，常见的说法是骨头更密。这只说对了一半。

拿美国国家标准与技术研究院（NIST）的标准数据表来算，致密骨的密度按 1.92 克每立方厘米、软组织按 1.06 计。光子能量 20 千电子伏的时候，骨头的衰减系数是肉的 8.8 倍：1 厘米厚的肉能透过 42%，1 厘米厚的骨头只透过 0.05%。能量升到 100 千电子伏，这个倍数降到 2.0；到了 1 兆电子伏，只剩 1.70。

同样 1 厘米、20 千电子伏：肉透过 42%，骨头只透过 0.05%。

图 5　同样 1 厘米、20 千电子伏：肉透过 42%，骨头只透过 0.05%。

1.70 这个数几乎就等于两样东西相乘：骨头和肉的密度比 1.81，乘上每克物质里电子数的比 0.936，乘出来是 1.69。能量很高的时候，X 射线主要是被电子散射掉，它只认电子有多少，所以这时只剩下一个原因：单位体积里的电子数。骨头更密，但每克里的电子反而少一点，这两样一乘就是上面那个数。能量低的时候比值要大得多，20 千电子伏时是高能时的 5 倍多，多出来的那部分几乎全部来自另一种过程：光电效应。光电效应对原子序数非常敏感，骨头里有钙和磷，原子序数是 20 和 15，肉里主要是碳、氧、氢。所以骨头暗有两个原因，一个是密，一个是原子序数高，而且第二个原因会随着能量升高慢慢消失。

光电效应大致随原子序数的三次方增长：氢、碳、氧、磷、钙，越往右，吸收得越多。

图 6　光电效应大致随原子序数的三次方增长：氢、碳、氧、磷、钙，越往右，吸收得越多。

这一节的推导，包括衰减公式和这些数是怎么来的，放在附录 A。

1901 年 12 月，斯德哥尔摩

1901 年 12 月 10 日，斯德哥尔摩皇家音乐学院的大厅里第一次颁发诺贝尔奖。物理学奖只给了一个人，就是伦琴，颁奖词是：表彰他发现了那种后来以他的名字命名的奇特射线，为此作出的非凡贡献。

国王奥斯卡那天不在，奖是王储古斯塔夫（Crown Prince Gustaf）代颁的。当时做司仪的一个二十岁学生后来回忆，第一个入场的是那位「仪表堂堂的德国人」，留着一大把深色的教授胡子。伦琴其实不太想来。他在给巴伐利亚文教部的请假信里写，科学院特别看重得奖人本人亲自到场，他虽然不情愿，也觉得应该满足，所以请一周的假。他来了，领了证书和奖章，但是没有做诺贝尔演讲。官方的演讲页上至今只有一句话：伦琴教授没有发表演讲。

争执：勒纳德

1901 年的提名档案五十年后公开了。那一年物理学奖一共收到 29 条有效提名，伦琴有 16 条，其中有马克斯·普朗克（Max Planck）的一条。有一条很有意思：伦琴本人提名的是开尔文勋爵（Lord Kelvin）。

这 16 条里，有 5 条值得单独看。刚成立的诺贝尔物理委员会一共五位委员，五个人提名的都是同一个组合：勒纳德（Philipp Lenard）和伦琴并列。科学院全体会议最后决定，奖只给伦琴一个人。委员会自己后来向科学院推荐的是谁、理由是什么，委员会的报告不在公开的档案网页上，我们没有看到。

勒纳德是研究阴极射线的。他做过一种在管壁上开一个极薄铝箔「窗口」的放电管，让阴极射线能跑到管子外面来。伦琴的第一篇论文里提到他五次，开头列可用的管子时提到「勒纳德式的」，第十节还专门提到勒纳德用阴极射线穿过薄铝片的那些实验。据《科学传记辞典》的说法（二手），勒纳德应伦琴的请求给过他一支管子。但论文没有说 11 月那天他用的究竟是哪一支。

四年后，1905 年的物理学奖给了勒纳德，表彰他在阴极射线上的工作。1906 年 5 月他在斯德哥尔摩做诺贝尔演讲，提到伦琴只有一处。他说伦琴是第一个用上他描述的那种管子的人，X 射线的发现通常被看作一个幸运的发现，但在他看来，有了那种管子，观察者的注意力已经从管子里面转到了外面，管外又本来就放着荧光屏，这个发现在那个阶段是迟早要被做出来的。

后来他说得越来越重。1929 年他写信给伦琴的传记作者，说毫无疑问，通往这个发现的路是从他的研究上走过去的。到 1945 年，他对人说：我是 X 射线的母亲，就像接生婆不必为生育的机制负责一样，伦琴也不必为 X 射线的发现负责，它只是掉进了他的怀里。这两段话我们只看到传记作者的转引，原信和谈话记录都没有见到。三十年代勒纳德成了纳粹「德意志物理学」的旗手，据格拉瑟说，勒纳德写的四卷物理学教材里，正文不提伦琴，也不提爱因斯坦。

勒纳德在伦琴生前说的那些话，包括 1906 年的演讲，伦琴没有公开回应过，至少我们查到的来源里没有记录；1929 年和 1945 年那两段话说出来的时候，伦琴已经在 1923 年去世了。他在遗嘱里要求把慕尼黑寓所走廊柜子里的文件全部烧掉，执行人说，发现那段时期的信件都烧了。所以他对这场争执怎么想，我们找不到他自己留下的记录。

奖金和专利

网上很多地方写伦琴的奖金是 5 万瑞典克朗，并且捐给了维尔茨堡大学。诺贝尔基金会的奖金表上，1901 年物理学奖是 150,782 克朗。2023 年有人读了巴伐利亚州档案馆里伦琴的全部遗嘱文件：1911 年的遗嘱留了 20 万马克给一个纯科学的物理研究基金，1920 年改成留给维尔茨堡大学物理所。这笔钱的数目和奖金差不多，但遗嘱里一个字也没有提诺贝尔奖。一战之后的通货膨胀，又把这些遗赠几乎全部吞掉了。所以能说的只是：他把一笔和奖金相当的钱留给了维尔茨堡大学物理所。「捐出诺贝尔奖金」是传记作者的解读。

他没有为 X 射线申请过专利，各家的说法一致，不过都是二手的。1896 年 1 月就有伦敦的公司写信给他，提议做商业开发。常被引用的那句「发明和发现属于全世界」，目前只找得到二手的出处。

之后

伦琴在 1895 年那篇论文里试过让 X 射线折射、做规则的反射，都没有测到，倒是发现铂、铅、锌的板子会把它漫反射回来。论文最后他说，这种射线和已知的红外线、可见光、紫外线完全不一样，猜它也许是以太里的纵波。他不是不敢说它是光，是不肯说它是已知的那种光。

这个问题一路往后拖。1912 年，弗里德里希（Walter Friedrich）和克尼平（Paul Knipping）按劳厄（Max von Laue）的提议让 X 射线穿过晶体，拍到了衍射斑点，说明它是波；1915 年，杜安（William Duane）和亨特（Franklin Hunt）精确测出了谱上那道截止边，那道边指向的又是量子。劳厄、布拉格父子、巴克拉、西格巴恩、康普顿，后来都因为和 X 射线有关的工作拿了物理学奖，我们到那几年再讲。

下一集是 1902 年，洛伦兹（Hendrik Lorentz）和塞曼（Pieter Zeeman）：把光源放进磁场，谱线变宽了。

附录 A　物理推导

正文里两节只讲了概念：「那是什么光」和「为什么照得出骨头」。这个附录把它们从头推一遍，每个结果后面配一个能自己算的例子。数据取自美国国家标准与技术研究院（NIST）的几个公开数据库。要先说明一点：NIST 的衰减系数表是把理论算出的各原子截面汇编起来得到的，不是拿骨头和肉直接测出来的；化合物和混合物的数值，是按下面 A.3 节的混合物法则由各元素加权算出的。

本附录符号

符号	含义
$e$	电子电荷的大小， $1.602176634\times10^{-19}$ 库仑
$V$	管子两端的加速电压
$K$	电子的动能
$m_e$	电子质量， $m_ec^2 = 510.999$ keV
$h$ ， $\hbar$	普朗克常数， $\hbar = h/2\pi$
$c$	光速
$\nu$ ， $\lambda$	光的频率、波长， $\lambda\nu = c$
$\alpha$	精细结构常数， $\alpha = e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c) \approx 1/137$
$\mu$	线衰减系数，单位 cm $^{-1}$
$\rho$	密度，单位 g/cm $^3$
$\mu/\rho$	质量衰减系数，单位 cm $^2$ /g
$\sigma$	截面，单位 cm $^2$ 或靶恩（1 b $=10^{-24}$ cm $^2$ ）
$N_A$	阿伏伽德罗常数
$Z_i$ ， $A_i$	第 $i$ 种元素的原子序数、摩尔质量（g/mol）
$w_i$	混合物里第 $i$ 种元素的质量分数
$\langle Z/A\rangle$	混合物的平均值 $\sum_i w_iZ_i/A_i$

A.1　管子里的能量

定义 A1.1（电子伏）。一个电子经过 1 伏的电势差，电场对它做的功叫 1 电子伏，记作 eV：

1\ \text{eV} = 1.602176634\times10^{-19}\ \text{J}. \tag{A1.1}

千电子伏记作 keV，兆电子伏记作 MeV。

电子最后撞上的那块东西叫靶。在伦琴的管子里，靶就是被阴极射线打中的那块玻璃壁；后来的 X 光管里，靶是一块专门放置的金属。

命题 A1.1. 电子从阴极附近出发、初速可以忽略，经过电势差 $V$ 打到靶上，到达时的动能满足 $K \le eV$ 。若靶处在阳极的电位，且电子中途没有和任何东西碰撞，则取等号。

证明. 静电场是保守场，电荷 $q$ 从电势 $\varphi_1$ 走到 $\varphi_2$ ，电场力做的功是 $q(\varphi_1-\varphi_2)$ ，和走哪条路无关。电子带电 $-e$ ，从阴极走到电势高出 $V'$ 的靶处，电场力做功 $eV'$ ，而 $V'$ 不超过阴极和阳极之间的电压 $V$ 。由动能定理，动能的增量等于合力做的功；路上若和气体分子相撞，还会额外损失能量，故 $K \le eV' \le eV$ 。靶处在阳极电位时 $V' = V$ ，再没有碰撞，就有 $K = eV$ 。(证毕)

例 A1.2. 电压 30 千伏时，电子最多带着 $K = 30$ keV $= 4.807\times10^{-15}$ J 的动能撞上靶。这时电子已经快到要考虑相对论的程度。动能和速度的关系是 $K = (\gamma-1)m_ec^2$ ， $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ 。代入得 $\gamma = 1 + 30/511 = 1.0587$ ， $v/c = 0.328$ ， $v = 9.84\times10^{7}$ m/s，约为光速的三分之一。若用牛顿力学的 $K = \tfrac12 m_ev^2$ ，会算出 $v/c = 0.343$ ，偏高 4.4%；电压升到 100 千伏，偏差扩大到 14%。

注 A1.3. 命题 A1.1 只给了上限。伦琴的管子里充着稀薄的气体，玻璃壁被电子打中以后自己会带上负电，它的电位说不准，电子并不都拿到满额的 $eV$ 。下面 A.2 节的截止波长只用到这个上限。

A.2　刹车辐射和截止波长

从「光子能量不超过电子动能」一步步推到 λ_min = hc/eV。

图 7　从「光子能量不超过电子动能」一步步推到 λ_min = hc/eV。

引用 A2.1（拉莫尔公式）。电荷 $q$ 以加速度 $a$ 运动、速度远小于光速时，向四面八方辐射的总功率是

P = \frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}. \tag{A2.1}

这里不推导，推导见费曼《物理学讲义》第一卷第 32 章，式 (32.5)。要紧的只有一点：匀速运动的电荷不辐射，辐射的强弱跟加速度的平方成正比。 电子掠过原子核时被库仑力猛地拽偏、减速，加速度极大，就会放出光来。这种光叫韧致辐射（Bremsstrahlung），德语原意是「刹车辐射」。

定义 A2.2（光子）。频率为 $\nu$ 的光，能量只能一份一份地交换，每一份叫一个光子，能量是

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad hc = 1239.842\ \text{eV·nm}. \tag{A2.2}

命题 A2.3（截止波长）。假定每个光子都是由一个电子在一次相互作用中放出的。加速电压为 $V$ 时，管子发出的 X 射线谱中，光子能量不超过 $eV$ ；换成频率和波长，就是

\nu \le \nu_{\max} = \frac{eV}{h}, \qquad \lambda \ge \lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}. \tag{A2.3}

证明. 设电子作用前动能为 $K$ ，作用后为 $K' \ge 0$ ，原子核反冲得到动能 $K_N \ge 0$ ；原子若被激发，还要分走一份激发能 $\Delta \ge 0$ 。由能量守恒， $h\nu = K - K' - K_N - \Delta \le K$ 。再由命题 A1.1， $K \le eV$ ，故 $h\nu \le eV$ 。把 (A2.2) 代入即得 (A2.3)。(证毕)

把 $hc$ 的数值代进去，(A2.3) 可以写成一个好用的形式：

\lambda_{\min}\,[\text{nm}] = \frac{1.23984}{V\,[\text{kV}]}. \tag{A2.4}

例 A2.4.

电压	$\lambda_{\min}$	$\nu_{\max}$
30 kV	0.0413 nm	$7.25\times10^{18}$ Hz
50 kV	0.0248 nm	$1.21\times10^{19}$ Hz
100 kV	0.0124 nm	$2.42\times10^{19}$ Hz

可见光的波长在 400 到 700 纳米之间。和上表的最短波长比，可见光长了一万到五万多倍。

注 A2.5（为什么说这道边是量子的证据）。命题 A2.3 的证明用了两条前提：一个光子由一个电子放出，光的能量按 $h\nu$ 一份一份地给出。拿掉第二条，电子和光都按经典物理处理，能量守恒还在，但它管的是辐射出去的总能量，管不到频率：经典的电磁波在任何频率上都可以只带一点点能量，所以频率再高也不违反能量守恒，谱上不会因此出现一道由电子能量决定的边。有了 $h\nu$ 这条，频率为 $\nu$ 的光至少要带走 $h\nu$ 的能量，能量守恒才第一次限制住了频率，界限就落在 $eV/h$ 。

还有第三种处理，叫半经典处理：电子的能量按量子力学变化，光仍然当作经典的波。这时电子从动能为 $K$ 的状态跳到动能为 $K'$ 的状态，放出的波的频率由玻尔的频率条件决定， $\nu = (K-K')/h$ 。 $K'$ 不能小于 0，所以同样得到 $h\nu \le K$ ，同样有这道边，而全程没有用到光子。所以这道边证明的是：电子和光之间交换能量，以 $h\nu$ 为单位进行，这是量子的证据。单凭这道边，分不出量子化的是光本身，还是只是电子的能量。

1915 年杜安（William Duane）和亨特（Franklin Hunt）精确测出了这道边，它正比于电压，比例系数就是 $e/h$ ；反过来，量出电压和截止波长，就能算出普朗克常数。光本身由一个个光子组成，这个看法在物理学界被普遍接受，是 1923 年康普顿散射以后的事，留到康普顿获奖的那一集再讲。

例 A2.6（要靠多近才放得出 30 keV 的光子）。一次持续时间为 $\tau$ 的碰撞，放出的光频率最高只到 $1/\tau$ 的量级。要放出能量 30 keV 的光子，频率是 $\nu = 7.25\times10^{18}$ Hz，碰撞时间就不能长过 $1/\nu = 1.4\times10^{-19}$ s。电子以 $9.84\times10^7$ m/s 运动，这段时间里只走 14 皮米（1 皮米 $=10^{-12}$ 米），而一个原子的大小约为 100 皮米。所以高能光子主要来自从原子核旁边很近处擦过的电子。打进靶里的电子，绝大多数能量是在和原子里的电子一次次碰撞中一点点交出去的，最后变成热。这里只是数量级估计，谱的精确形状要用量子力学算。

A.3　衰减：比尔–朗伯定律

薄薄一层 dx 里被挡掉的比例 nσ dx，积分出 I = I₀ e^(−μx)。

图 8　薄薄一层 dx 里被挡掉的比例 nσ dx，积分出 I = I₀ e^(−μx)。

定义 A3.1（截面和数密度）。设材料里每立方厘米有 $n$ 个原子， $n$ 叫数密度。一个光子和某个原子发生相互作用的可能性，等效于这个原子挡着一块面积 $\sigma$ ，凡是落进这块面积的光子都会被吸收或散射走。 $\sigma$ 叫这个原子对该能量光子的截面。

命题 A3.2（比尔–朗伯定律）。一束能量单一、方向平行的窄 X 射线束垂直射入均匀材料。记 $I(x)$ 为深度 $x$ 处还没有发生任何相互作用的光子数，则

I(x) = I_0\,e^{-\mu x}, \qquad \mu = n\sigma. \tag{A3.1}

证明. 在深度 $x$ 处取一层厚 $dx$ 、面积 $S$ 的薄片。薄片里有 $nS\,dx$ 个原子，它们挡住的总面积是 $nS\,dx\cdot\sigma$ 。薄片足够薄时，这些小面积互不重叠，所以一个穿到这里的光子在这层里发生相互作用的概率是 $n\sigma S\,dx/S = n\sigma\,dx$ 。到达这一层的 $I(x)$ 个光子里，平均有 $I(x)\,n\sigma\,dx$ 个被挡掉，故

dI = -\mu I\,dx, \qquad \mu = n\sigma.

分离变量， $dI/I = -\mu\,dx$ ，两边从 $0$ 积到 $x$ 得 $\ln(I/I_0) = -\mu x$ ，即 (A3.1)。(证毕)

注 A3.3. 「窄束」和「单能」两个条件都要紧。宽束时，被散射偏开的光子有一部分仍会打到探测器上，测到的强度比 (A3.1) 高。真实管子发出的是一整片连续谱，低能部分在材料里先被吃掉，透过去的射束平均能量越来越高，这叫射束硬化。下面的例子都按单一能量算。

定义 A3.4（半值层）。强度减半所需的厚度，由 $e^{-\mu x_{1/2}} = 1/2$ 得

x_{1/2} = \frac{\ln 2}{\mu}. \tag{A3.2}

定义 A3.5（质量衰减系数）。 $\mu$ 和密度成正比：同一种东西压紧一倍，单位体积里的原子多一倍。把密度除掉，得到只跟成分和光子能量有关的量 $\mu/\rho$ ，单位 cm $^2$ /g。NIST 的表给的就是它。

命题 A3.6（混合物法则）。由多种元素组成的材料，第 $i$ 种元素的质量分数为 $w_i$ ，则

\frac{\mu}{\rho} = \sum_i w_i\left(\frac{\mu}{\rho}\right)_i. \tag{A3.3}

证明. 每立方厘米里第 $i$ 种元素有 $\rho w_i$ 克，原子数 $n_i = \rho w_i N_A/A_i$ 。假定各种原子各自挡光、互不影响，(A3.1) 的推导对每种原子分别成立，总的 $\mu = \sum_i n_i\sigma_i = \rho\sum_i w_i\,(N_A\sigma_i/A_i)$ 。单质的 $(\mu/\rho)_i = N_A\sigma_i/A_i$ ，代入并两边除以 $\rho$ 即得 (A3.3)。(证毕)

「互不影响」忽略了化学键对外层电子的影响，在吸收边附近会有小偏差，离开吸收边时这条近似很好。

例 A3.7. 先看光子能量 20 keV。软组织 $\mu/\rho = 0.8230$ cm $^2$ /g，密度 1.06 g/cm $^3$ ， $\mu = 0.872$ cm $^{-1}$ ，1 厘米厚透过 $e^{-0.872} = 41.8\%$ ；致密骨 $\mu/\rho = 4.0010$ cm $^2$ /g，密度 1.92 g/cm $^3$ ， $\mu = 7.68$ cm $^{-1}$ ，1 厘米厚只透过 $e^{-7.68} = 0.046\%$ 。正文里的 42% 和 0.05% 就是这两个数。再看光子能量 30 keV。软组织 $\mu/\rho = 0.379$ cm $^2$ /g，密度 1.06 g/cm $^3$ ， $\mu = 0.402$ cm $^{-1}$ ，半值层 $x_{1/2} = 0.693/0.402 = 1.73$ cm。穿过 10 厘米软组织，剩下 $e^{-4.02} = 1.8\%$ 。致密骨 $\mu/\rho = 1.331$ cm $^2$ /g，密度 1.92 g/cm $^3$ ， $\mu = 2.56$ cm $^{-1}$ ，半值层只有 0.27 cm。

例 A3.8（按混合物法则复现 NIST 的表）。NIST 给出的致密骨成分（质量分数）是：氢 3.4%，碳 15.5%，氮 4.2%，氧 43.5%，钠 0.1%，镁 0.2%，磷 10.3%，硫 0.3%，钙 22.5%。把九种元素各自的 $\mu/\rho$ 按 (A3.3) 加权求和，30 keV 时得 1.3309 cm $^2$ /g，NIST 表里致密骨的数值是 1.3310。从 20 keV 到 1 MeV 取九个能量点，骨和软组织两种材料，加权结果和表里的数值相差都不超过 0.04%。这只说明我们复现了 NIST 编表的做法，因为 NIST 本来就是用这条法则算出化合物的数值的；要检验法则本身，得拿骨头的实测衰减系数来比，本附录没有做。

A.4　骨与肉

原子里的电子被原子核吸着，要把一个电子从原子里拿出来所需的最小能量，叫它的结合能；越靠里层的电子，结合能越大。光子穿过物质时，在几十 keV 到 1 MeV 这个能区，主要有三种相互作用：

光电效应：光子被原子整个吸收，把一个内层电子打出来。光子能量必须高于这个电子的结合能。
非相干散射，也叫康普顿散射：光子撞上一个电子，把一部分能量交给它，自己改变方向。光子能量远高于结合能时，原子里的电子可以当作自由电子。
相干散射，也叫瑞利散射：光子被整个原子弹开，能量不变，只改方向。

能量超过 1.022 MeV（两倍的电子静能）时还会产生电子–正电子对，本附录用不到。三部分相加：

\frac{\mu}{\rho} = \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_{\text{光电}} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_{\text{相干}} + \left(\frac{\mu}{\rho}\right)_{\text{非相干}}. \tag{A4.1}

命题 A4.1（高能极限：只剩密度和电子数）。若某能量下非相干散射占绝对多数，并且每个电子的截面 $\sigma_e$ 与它属于哪种原子无关，则

\frac{\mu}{\rho} \approx N_A\,\sigma_e\,\langle Z/A\rangle, \qquad \frac{\mu_{\text{骨}}}{\mu_{\text{肉}}} \approx \frac{\rho_{\text{骨}}}{\rho_{\text{肉}}}\cdot\frac{\langle Z/A\rangle_{\text{骨}}}{\langle Z/A\rangle_{\text{肉}}}. \tag{A4.2}

其中 $N_A\langle Z/A\rangle$ 就是每克物质里的电子数。

证明. 第 $i$ 种原子有 $Z_i$ 个电子，每个电子截面为 $\sigma_e$ ，故 $\sigma_i = Z_i\sigma_e$ ， $(\mu/\rho)_i = N_A\sigma_i/A_i = N_A\sigma_eZ_i/A_i$ 。代入混合物法则 (A3.3) 得第一式。两种材料相比， $N_A\sigma_e$ 约掉，再乘上 $\mu = \rho\cdot(\mu/\rho)$ 的密度因子，得第二式。(证毕)

例 A4.2. 由 NIST 的成分算得，致密骨 $\langle Z/A\rangle = 0.51478$ ，软组织 $0.54996$ ，比值 0.9360。氢的 $Z/A$ 接近 1，其他元素都接近 0.5，软组织含氢 10.2%，骨只含 3.4%，所以每克软组织里的电子反而比骨头多。密度比 $1.92/1.06 = 1.8113$ 。由 (A4.2)，高能极限下骨与肉的线衰减系数比是 $1.8113\times0.9360 = 1.6954$ 。NIST 表在 1 MeV 处给出的比值是 1.6976，比预言高 0.12%。拆开看，两种材料非相干部分的比值比电子数之比低 0.04%，1 MeV 下剩下的那一点相干散射和光电效应又把总比值抬高了 0.16%。

例 A4.3（三部分各占多少）。用 NIST 的 XCOM 数据库查出每种元素三部分各自的截面，再按 (A3.3) 加权，得到下表。「光电占比」是光电部分占总 $\mu/\rho$ 的比例。

能量	骨：光电占比	肉：光电占比	线衰减系数比骨/肉
20 keV	92%	68%	8.80
30 keV	81%	40%	6.36
50 keV	52%	13%	3.39
100 keV	14%	2%	1.99
150 keV	5%	1%	1.80
1 MeV	0%	0%	1.70

比值从 8.8 一路降到 1.70，降的过程和光电占比的消退同步。

例 A4.4（低能时多出来的那部分是什么）。20 keV 时比值 8.80 是高能极限 1.70 的约 5.2 倍。把软组织的各部分按「非相干散射之比」缩放到和骨头同一个电子数基准上，骨头比它多出 3.28 cm $^2$ /g。拆开看，其中 97% 来自光电效应，3% 来自相干散射。30 keV 时是 95% 和 5%。正文说多出来的部分来自光电效应，按数据大体如此，严格说还有百分之几来自相干散射。

经验标度 A4.5（光电效应有多偏爱重原子）。从理论上推导光电截面要用量子力学，这里不推，只从 NIST 的光电截面表里把指数读出来。这张表本身是 Scofield 在 1973 年用狄拉克方程算出来的。把每克的 $\mu/\rho$ 换成每个原子的截面 $\sigma = (\mu/\rho)\,A/N_A$ ：

30 keV 时，钙 $\sigma_{\text{光电}} = 248$ b，氧 $4.36$ b，相差 57 倍；钙和氧的原子序数之比是 $20/8 = 2.5$ ， $2.5^{4.41} = 57$ 。磷对碳得到的指数是 4.54。60 keV 时两个指数分别是 4.57 和 4.68。
能量从 20 keV 升到 60 keV（三倍），氧的光电截面降为原来的 $3^{-3.27}$ ，钙降为 $3^{-3.04}$ 。

合起来，在这个能区，每个原子大致有

\sigma_{\text{光电}} \propto \frac{Z^{4.4\sim4.7}}{E^{3.0\sim3.3}}. \tag{A4.3}

每克物质里的原子数约与 $1/A \approx 1/(2Z)$ 成正比，所以换成每克， $Z$ 的指数要减去 1，大约在 3.4 到 3.7 之间。骨头里钙占 22.5%、磷占 10.3%，光电效应又对 $Z$ 这么敏感，所以低能时骨头挡掉的格外多。

注 A4.6（吸收边）。NIST 的致密骨表在 4.0381 keV 这一个能量上列了两个值，129.6 和 333.2 cm $^2$ /g，跳了 2.57 倍。这个能量正好是钙原子最内层（K 层）电子的结合能。光子能量低于它时，钙的两个 K 层电子不能参与光电效应；一高过它，这两个电子就加进来，吸收突然变强。这叫 K 吸收边。下面 A.5 节的特征谱线，就是 K 层被打出一个空位之后，外层电子跳下来补位时放出的光。

注 A4.7（玻璃管壁吸收掉自己的特征谱线）。原子 K 层出现空位、外层电子补位时放出的光，能量由元素决定，叫这种元素的特征谱线（详见 A.5）。正文说，玻璃里那些轻元素的特征谱线会被管壁吸收掉，可以照 (A3.1) 算一下。伦琴那支管子的玻璃成分不知道，这里用 NIST 有数据的硼硅玻璃（密度 2.23 g/cm $^3$ ）作吸收体。NIST X 射线跃迁能量库里，几种常见玻璃元素最强的一条 K 系谱线的实测能量是：钠 1.041 keV，硅 1.740 keV，钾 3.314 keV，钙 3.692 keV。其中能量最高、最容易穿透的是钙线，只要管壁厚过 0.11 毫米，它就剩不到千分之一；0.5 毫米时剩 $6\times10^{-15}$ ，其余几条更少。同样 0.5 毫米，20 keV 的连续谱能透过 77%，30 keV 能透过 92%。硼硅玻璃只是代用品。换成今天最常见的钠钙玻璃再算一遍，就能看出代用品造成的偏差往哪边走。按钠钙瓶罐玻璃的典型成分（二氧化硅 74%、氧化钠 13%、氧化钙 10.5%，其余是少量氧化铝、氧化钾、氧化镁；密度 2.52 g/cm $^3$ ），钠钙玻璃比硼硅玻璃更重，还含钙，在上面算过的四条谱线和两个能量上都吸收得更多。四条特征谱线在钠钙玻璃里只要 0.093 毫米就剩不到千分之一，结论只会更成立；连续谱的透过率则会更低，0.5 毫米时 20 keV 透过 67%，30 keV 透过 87%。这个结论只适用于不含重元素的玻璃。若管子用的是铅玻璃，或者装了铂之类的金属靶，重元素的特征谱线能量高得多，可能穿得出来，就要另算。

A.5　预告：两样后面几集要讲的事

特征谱线和 Moseley 定律. 玻尔在 1913 年给出的氢原子模型里，电子只能处在一层层分立的轨道上，第 $n$ 层的能量是 $-R_y/n^2$ ， $R_y = 13.606$ eV。只有一个电子、核电荷为 $Z$ 的离子叫类氢原子，能量是 $-R_yZ^2/n^2$ 。现在把一个原子最内层（ $n=1$ ）的一个电子打掉，留下一个空位；外面一层（ $n=2$ ）的电子跳下来补位，放出一个光子，这条谱线叫 K $_\alpha$ 。粗略地看，跳下来的电子感受到的核电荷，被 K 层剩下的那一个电子挡掉了大约一个单位，相当于原子序数为 $Z-1$ 的类氢原子。这只是一条经验上好用的估算：严格说，两层电子受到的遮挡并不一样，取同一个 $Z-1$ 有一部分是碰巧抵消。于是

E_{K_\alpha} \approx R_y(Z-1)^2\left(1-\frac14\right) = \frac34R_y(Z-1)^2. \tag{A5.1}

$\sqrt{E}$ 和 $Z$ 呈直线关系。这条直线后来成了给元素按原子序数排队的依据。

例 A5.1. 和 NIST 的实测值（K $_\alpha$ 里最强的一条）对比：

元素	$Z$	(A5.1) 算出	狄拉克方程，核电荷取 $Z-1$	NIST 实测
铜	29	8.000 keV（−0.6%）	8.107 keV（+0.7%）	8.048 keV
钼	42	17.15 keV（−1.9%）	17.66 keV（+1.0%）	17.48 keV
钨	74	54.38 keV（−8.3%）	60.08 keV（+1.3%）	59.32 keV

铜对得很好，钨偏了 8%。按玻尔模型，最内层电子的速度约为 $Z\alpha c$ ，铜是 $0.21c$ ，钨是 $0.54c$ ，已经不能用非相对论的公式。狄拉克方程是电子的相对论量子方程，把同样的类氢模型换成它来算，内层能级被拉得更深，钨的偏差从 −8.3% 缩到 +1.3%。所以重元素上 (A5.1) 的偏差，主要是相对论效应造成的。

布拉格条件. 晶体里的原子排得整整齐齐，可以看成一层层平行的平面，相邻两层的间距记作 $d$ 。一束波长为 $\lambda$ 的 X 射线以掠射角 $\theta$ （射线和晶面的夹角）射来，每一层原子都会把它散射出去一部分。

命题 A5.2（布拉格条件）。只看出射角等于入射角的那个方向（像镜面反射一样），相邻两层的出射波同相加强的条件是

2d\sin\theta = n\lambda, \qquad n = 1, 2, 3, \dots \tag{A5.2}

证明. 先看同一层里的原子。出射角等于入射角时，从同一层上任意两个原子散射出来的波走过的总路程相等，所以同一层的散射全部同相，这一层就像一面镜子。再看相邻两层。在上层取一点 $P$ ，在下层取它正下方的点 $Q$ ， $PQ = d$ ，和晶面垂直。经 $Q$ 反射的射线比经 $P$ 反射的多走两段：从 $P$ 向经 $Q$ 的入射线作垂线，垂足到 $Q$ 的距离是 $d\sin\theta$ ；出射一侧同理，也是 $d\sin\theta$ 。所以光程差是 $2d\sin\theta$ 。它等于波长的整数倍时，两层的反射波峰对峰，彼此加强；每一对相邻层都是如此，所有层的反射一起加强。光程差不是整数倍时，各层反射的相位依次错开，层数很多，加起来互相抵消。(证毕)

例 A5.3. 晶体由一个个相同的立方小格子堆起来，小格子的边长叫晶格常数。氯化钠的晶格常数 $a = 564.02$ pm。取和立方体表面平行、间距 $d = a/2 = 282.0$ pm 的那组晶面，用铜的 K $_\alpha$ 线， $\lambda = hc/E = 1239.842/8047.82 = 0.15406$ nm。由 (A5.2)， $\sin\theta = n\lambda/2d$ ： $n = 1$ 时 $\theta = 15.85°$ ， $n = 2$ 时 $33.11°$ ， $n = 3$ 时 $55.03°$ 。 $n\lambda/2d$ 不能超过 1，所以这组晶面最多只有三级反射。

注 A5.4. 为什么用晶体做 X 射线的衍射，不用来做可见光的衍射？(A5.2) 要求 $\lambda \le 2d$ 。晶面间距是零点几纳米，X 射线的波长也是零点几纳米，正好对得上；可见光的波长是 $2d$ 的七百到一千二百倍，没有任何角度能满足条件。为什么取 $a/2$ 而不是 $a$ ：在氯化钠里，两层相距 $a$ 的晶面正中间，还夹着一层成分完全相同的晶面，钠和氯各占一半。按间距 $a$ 算的一级反射，这层夹在中间的晶面反射回来的波正好落后半个波长，把它抵消了。所以在和立方体表面平行的这一族晶面里，第一个能看到的反射来自间距 $a/2$ 的晶面。别的方向上还有别的晶面，比如沿立方体对角线方向、间距 $a/\sqrt3 = 325.6$ pm 的那一组，钠层和氯层交替排列，它的一级反射在 $13.68°$ ，比上面的 $15.85°$ 还早，只是钠和氯的反射大半互相抵消，很弱。

本附录的数据来源. NIST X-ray Mass Attenuation Coefficients（J. H. Hubbell 和 S. M. Seltzer；表 1、表 2、表 4，致密骨、软组织、硼硅玻璃三张材料表，以及说明编表方法的第 2 章）；NIST XCOM 光子截面数据库，逐元素查询；NIST X-ray Transition Energies 数据库，取 K $_\alpha$ 里最强的一条（库里记作 KL $_3$ ），直接实验值；费曼《物理学讲义》第一卷第 32 章；氯化钠晶格常数取自维基百科「Sodium chloride」条目，钠钙玻璃的成分和密度取自维基百科「Soda–lime glass」条目（瓶罐玻璃一栏）。凡是从这些数据算出来的数，都由脚本 verify_appA.py 算出，原始网页一并存档。可见光的波长范围、原子的大小、电子对产生的阈值 1.022 MeV 是通用常识，没有另外核对；管壁厚度 0.5 毫米是举例用的假设。

参考来源

按正文第一次出现的顺序编号。【一手】= 原始文献、当时的报刊或机构自己的著录；【二手】= 后人的研究或转述。

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