诺贝尔物理学奖百年 · 第 2 篇 / 共 2 篇

诺贝尔物理学奖（二）1902：洛伦兹、塞曼，和一条变宽的谱线

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配套视频（YouTube）：英文原声，可切换中文配音，中英字幕

这个系列的起点，是我的一位老师。他总愿意在朋友圈里和大家分享点什么。

我不是专家，也不是教授，只是一个喜欢科学的人。在人工智能的时代里，我常常感到迷茫，但我没有放弃自己热爱的事。

这个系列献给同样迷茫的人：献给敢于面对未知的人，献给走进未知去探索的人，也献给那些从未停下脚步、一直朝着梦想走的人。

也让我们不要忘记那些先驱者。

1896 年夏末，莱顿大学的实验室里，一团撒了盐的火焰被放到一块电磁铁的两极之间，火焰里的两条黄线变宽了。这一集先讲看到了什么、做出发现的两个人、消息怎么传开，再讲洛伦兹怎么解释它、塞曼怎么把一个符号写反了，然后把整件事用公式从头推一遍，最后讲 1902 年的那个奖，和网上流传的一个说法。

一团撒了盐的火焰

先做一个实验。在酒精灯的火焰里撒一点食盐，火焰会变成明亮的黄色。这种黄光来自钠。

让这束光穿过一条细缝，再照到一块光栅上。光栅上刻着密密麻麻的平行细线，不同颜色的光照到它上面，会被偏到不同的角度，于是展开成一条光谱。黄色那里，是两条靠得很近的亮线，物理学家叫它们钠的 D 线。每一种元素都有自己的一组谱线，就像指纹一样。

现在，把这团火焰放到一块很强的电磁铁的两个磁极中间，接通电流。两条黄线变宽了。断开电流，它们又变回原样。

接通电磁铁，钠的两条黄线变宽；断开电流，又变回原样。

图 1　接通电磁铁，钠的两条黄线变宽；断开电流，又变回原样。

变化非常小，塞曼后来在诺贝尔演讲里说，大约只有两条线间距的三十分之一。但它确实在变，而且跟着电流一开一关。

如果换一种更细、更清楚的谱线，比如镉的一条蓝线，再用更好的装置去看，就能看到它变成了什么：从侧面看，一条线分成了三条；顺着磁场的方向看，分成了两条。这是当年的光栅看到的样子。按今天的算法，这条蓝线从侧面看其实分成六条，顺着磁场看是四条，只是挨得近的两两分不开（附录 A.5 有算法）。

换成镉的一条蓝线：从侧面看，一条线分成三条；顺着磁场的方向看，分成两条。

图 2　换成镉的一条蓝线：从侧面看，一条线分成三条；顺着磁场的方向看，分成两条。

磁铁改变了光。准确地说，是改变了发光的那个东西。

1885 年，比利时的一位物理学家也看到过火焰的谱线在磁场里变宽，但他以为是火焰变热了。第一个证明这是磁铁直接改变了发光的，是荷兰莱顿大学的一位年轻助手，彼得·塞曼（Pieter Zeeman）。他在诺贝尔演讲里说，那是 1896 年 8 月。

这两个人

不过，塞曼并不是第一个想到这个实验的人。

1862 年 3 月 12 日，在伦敦皇家研究院的实验室里，法拉第（Michael Faraday）用分光镜去看，磁铁能不能改变一个光源。他什么也没看到。本斯·琼斯（Bence Jones）1870 年出版的《法拉第传》写道，这是法拉第做的最后一个实验。

八年后，1870 年 9 月 15 日，麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在利物浦的英国科学促进会上演讲，说到构成物质的那些小东西：它们的质量和振动的周期，自然界没有任何力量能改变一丝一毫。

塞曼早几年自己也试过一次，没有看到什么。他在 1897 年的英文论文里写，要不是大约两年前读到麦克斯韦为法拉第写的一篇简短生平，他大概不会这么快又做一次。那篇生平里说，1862 年法拉第最后一次做实验，研究的就是磁和光的关系：他想看强磁铁能不能改变火焰光谱里的谱线，没有成功。塞曼在诺贝尔演讲里还说，他把光源放进磁场，并不只是为了唱反调；这个想法，其实是他在研究克尔效应的时候就有了。

塞曼

塞曼 1865 年生在荷兰泽兰省的一个小村子，宗讷迈尔（Zonnemaire），父亲是当地的牧师。1882 年 11 月，17 岁的他在家乡看到天上一道奇异的白色光弧，写信把它描述了下来。第二年 1 月，这段描述被引用在英国的《自然》杂志上。

为了考大学，他到代尔夫特去补古典语言，在那里认识了卡末林·昂内斯（Heike Kamerlingh Onnes），那时昂内斯已经是莱顿大学的物理学教授。1885 年，塞曼也进了莱顿。

这里先说一个后面要用到的词。光是一种波，振动的方向和它前进的方向垂直。振动如果总在同一条直线上来回，叫线偏振；如果振动的方向随着光的前进不停地转圈，叫圆偏振。

1893 年，塞曼拿到博士学位，论文测的是克尔效应：光从磁化的铁、钴、镍镜面反射回来，偏振会发生变化。这是磁和光之间，当时已知的少数几种联系之一。1895 年，他和约翰娜·勒布雷（Johanna Elisabeth Lebret）结婚。第二年，他便做出了那个发现。

他这一生大致是这样的。每一条后面是出处；几种说法对不上的地方，几种都写出来。

洛伦兹

另一个人是洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）。他 1853 年生在荷兰的阿纳姆，父亲经营苗圃。他在莱顿读的大学，1875 年拿到博士学位，论文讲的是光的反射和折射。两年以后，莱顿大学请他当理论物理教授，那一年他 24 岁。

那时候，原子里有什么，还没有人知道，电子也还没有被发现。可是洛伦兹在 1892 年就提出，一切物体里都有大量带正电或负电的小粒子，电的现象，其实是这些粒子在动。按他的理论，光也是这些粒子振动发出来的。

所以 1896 年，在同一所大学里，一边是做实验的塞曼，一边是有一套现成理论的洛伦兹。

消息怎么传开

1896 年 10 月 31 日，阿姆斯特丹的荷兰皇家科学院开会。塞曼的论文，是他的老师卡末林·昂内斯代他提交的。会议记录上的原话是：「昂内斯先生代 P. 塞曼博士提交一篇通讯」。

论文的结论很谨慎：第三到第九个实验越来越说明，气态物质的吸收线、因而也包括发射线，被磁力展宽了。注意，是展宽，不是分裂。

塞曼把自己的想法告诉了洛伦兹。洛伦兹马上告诉他，按自己的理论，离子在磁场里会怎么运动。而且，他还说了一件塞曼没有注意到的事：如果他的理论是对的，变宽的那两条边，应该是圆偏振的光。为什么会这样，下一节讲。

塞曼回去一测，果然是。在 11 月 28 日的第二篇论文里，他还写下了这样一句话：「把电流反过来，看到的那条线，跳了！」句末是一个感叹号。

1897 年 2 月 11 日，英国的《自然》杂志登出了这个发现的英文介绍。就在同一天，英国物理学家洛奇（Oliver Lodge）在皇家学会宣读了一份简短的报告：他已经搭好了装置，看到了同样的现象，钠的两条线都变宽了。

那年 5 月，洛奇在皇家学会的晚会上当众演示了这个效应，看到了谱线分成两条，但他当时以为，那只是谱线变宽以后，中间一段被外围较冷的钠蒸气吸收掉了，看上去像两条，不是真的分开。他在塞曼一篇论文的后面附了一段话，说他这样做，丝毫没有要抢发现者功劳的意思。

1897 年 6 月，塞曼用镉的蓝线，终于看到了双线；横着看，看到的是三条线的雏形。拍出好照片，要等到那年 10 月。

事情没有就此结束。1898 年 1 月，法国的科尔纽（Alfred Cornu）在法国科学院报告：有的谱线横着看不是分成三条，而是四条。同年 4 月，美国的迈克耳孙（Albert Michelson）也写道，情况比大家以为的复杂得多。爱尔兰的普雷斯顿（Thomas Preston）拍下了照片，有的线分成三条，有的四条；用眼睛看，有的还能分成六条。他 1898 年 4 月在《哲学杂志》上印出的那张图版，是我们找到的最早印出来的塞曼效应照片之一。

塞曼后来在诺贝尔演讲里说：大自然会让我们所有人吃惊，洛伦兹教授也不例外。

十几年之后，这个效应第一次被用到了地球以外。太阳黑子光谱里的谱线变宽、变双，天文学家早就看到过。1908 年，美国天文学家海尔（George Ellery Hale）在光谱仪前面放了一块菲涅耳菱体和一块尼科耳棱镜。菱体的作用和塞曼那块四分之一波片一样，把圆偏振变成线偏振；尼科耳只放过一个方向的线偏振光。尼科耳转到一个角度，双线里只剩一条；转过 90 度，只剩另一条。这两条线一条左旋、一条右旋，和塞曼在实验室里顺着磁场看到的一样。

1908 年海尔的做法：菲涅耳菱体把圆偏振变成线偏振，尼科耳棱镜转到一个角度，黑子的双线只剩一条；转过九十度，只剩另一条。

图 3　1908 年海尔的做法：菲涅耳菱体把圆偏振变成线偏振，尼科耳棱镜转到一个角度，黑子的双线只剩一条；转过九十度，只剩另一条。

海尔写道，能把一条线变成这样一对双线的，已知只有强磁场。他由此算出，太阳黑子里的磁场大约是 2900 高斯（这是按铁的谱线算的；按铬的谱线算出的是 2600 高斯）。高斯是磁场的单位，地球表面的磁场还不到 1 高斯，塞曼那台电磁铁大约是一万高斯。这通常被看作人类第一次量出地球之外的磁场。

磁铁对光做了什么

洛伦兹的想法是这样的：发光的，是原子里一个带电的小粒子。它像被一根弹簧拴着，来回振动，振动的频率，就是它发出的光的频率。

任何一种振动，都可以拆成三种简单的运动：一种沿着磁场方向来回，两种在垂直于磁场的平面里转圈，一个顺时针，一个逆时针。

任何一种振动都可以拆成三种：一种沿着磁场来回，两种在垂直于磁场的平面里转圈，一个顺时针，一个逆时针。

图 4　任何一种振动都可以拆成三种：一种沿着磁场来回，两种在垂直于磁场的平面里转圈，一个顺时针，一个逆时针。

现在加上磁场。磁场对运动的带电粒子有一个力，方向总是和运动方向垂直。沿着磁场来回的那一种，不受影响。转圈的两种，一种被这个力往里拉，转得快了一点；另一种被往外推，转得慢了一点。

加上磁场，一种转圈被往里拉、转得快一点，另一种被往外推、转得慢一点。

图 5　加上磁场，一种转圈被往里拉、转得快一点，另一种被往外推、转得慢一点。

于是，原来的一个频率，变成了三个：中间那个不变，两边各有一个，高一点和低一点。这就是从侧面看到的三条线。

如果顺着磁场的方向看，沿着视线来回的那种振动发不出光到你眼里，中间那条就没有了，只剩两边两条。而且这两条光，一条向左旋，一条向右旋。这就是洛伦兹预言的圆偏振。

为什么一边是圆、一边是线？顺着磁场看，那两种转圈的运动就是正对着你转的圆，发出的光，振动的方向也跟着转圈，所以是圆偏振。从侧面看，同一个圆只看得到它的边，转圈看上去就成了一条直线上的来回，所以从侧面看到的三条线都是线偏振。

顺着磁场看，两种转圈正对着你，发出的光振动方向也跟着转圈：圆偏振。

图 6　顺着磁场看，两种转圈正对着你，发出的光振动方向也跟着转圈：圆偏振。

从侧面看，同一个圆只看得到它的边，转圈成了直线上的来回：三条线都是线偏振。

图 7　从侧面看，同一个圆只看得到它的边，转圈成了直线上的来回：三条线都是线偏振。

更重要的是，两条线分开多远，取决于这个粒子的电量和质量之比。塞曼从展宽的大小反过来算这个比值，在 1896 年 11 月的论文里写：「e/m 是 10⁷ 这个量级」，用的是当时的电磁单位。

这个数大得惊人。他在诺贝尔演讲里说，就是对物理学家来说，这也是一个巨大的数，它比氢离子的电量和质量之比还要大一千倍。氢离子，就是带了电的氢原子。也就是说，在原子里振动发光的这个东西，比最轻的原子还要轻得多。

1897 年，英国的汤姆孙（J. J. Thomson）在阴极射线里，也就是上一集伦琴那支放电管里跑的那种射线，也量出了这个比值。他在当年的论文里写，这个粒子的值 10⁻⁷ 比氢离子的 10⁻⁴ 小得多（他算的是质量和电量之比，正好是倒过来的）；在皇家研究院的演讲里，他特意提到，这和塞曼从钠光里推出来的，是同一个量级。这种粒子，就是我们今天说的电子。

符号写反了

这个故事还有一个小插曲。哪一条偏振光的频率高，能告诉我们这个粒子带的是正电还是负电。塞曼在 1896 年的论文第 24 节里写：在动的，是带正电的离子。

要分辨两条线谁左旋、谁右旋，得用一种叫四分之一波片的薄晶片。它能把转圈的圆偏振光，变成方向固定的线偏振光，左旋和右旋变出来的方向不一样，正好差 90 度。晶片上有两个方向，一个叫快轴，一个叫慢轴，要是把它们标反了，左右就认反了，正负也就判反了。

四分之一波片把两种圆偏振变成互相垂直的线偏振；快轴和慢轴标反了，两条线就对调，正负也就判反了。

图 8　四分之一波片把两种圆偏振变成互相垂直的线偏振；快轴和慢轴标反了，两条线就对调，正负也就判反了。

1897 年 7 月，他在《哲学杂志》一篇论文的脚注里改正：「所以辐射主要来自一个带负电的粒子。我的错误大概出在所用的那块四分之一波片的轴标错了。」

九年后，勒纳德（Philipp Lenard）在他的诺贝尔演讲里，还专门提了一笔：塞曼最早发表的文章里，印的是「正」而不是「负」。就是上一集里，那个和伦琴争了一辈子的勒纳德。

从头算一遍

下面把刚才的话，用公式从头推一遍。完整的推导，包括严格解、偏振为什么这样分布、符号怎么判，放在附录 A。

没有磁场的时候。 电子的质量是 mm，电量是 −e-e，被一根弹簧拴着。弹簧的力和位移成正比，方向相反：

mr¨=−mω02 rm\ddot{\mathbf r} = -m\omega_0^2\,\mathbf r

它的解，就是以角频率 ω0\omega_0 的振动。角频率是每秒转过的弧度数，等于 2π2\pi 乘以频率。ω0\omega_0 对应的，就是原来那条谱线。

加上磁场。 沿 zz 方向加一个磁场 BB，看在垂直于 BB 的平面里转圈的那两种运动。设电子以角速度 ω\omega 转圈，半径是 rr。

要让一个东西转圈，就得有一个一直指向圆心的力，叫向心力，大小是 mω2rm\omega^2 r。这个向心力来自两部分：弹簧的拉力 mω02rm\omega_0^2 r，加上或者减去磁场的力，也就是洛伦兹力，大小是 ee 乘速度乘 BB，速度是 ωr\omega r。洛伦兹力是磁场对运动电荷的力：电荷不动，就没有这个力；电荷一动，力的方向既垂直于速度，也垂直于磁场，所以在这里它正好沿着半径，不是指向圆心，就是背离圆心。是加还是减，取决于转的方向：

mω2r=mω02r±e ωrBm\omega^2 r = m\omega_0^2 r \pm e\,\omega r B

洛伦兹力：电荷不动，就没有这个力；电荷一动，力就既垂直于速度、也垂直于磁场，在这里正好沿着半径。

图 9　洛伦兹力：电荷不动，就没有这个力；电荷一动，力就既垂直于速度、也垂直于磁场，在这里正好沿着半径。

两边消去 rr，得到一个关于 ω\omega 的二次方程：

ω2∓eBm ω−ω02=0\omega^2 \mp \frac{eB}{m}\,\omega - \omega_0^2 = 0

它的正根是

ω±=ω02+(eB2m)2±eB2m\omega_\pm = \sqrt{\omega_0^2 + \left(\frac{eB}{2m}\right)^2} \pm \frac{eB}{2m}

磁场造成的那一项比 ω0\omega_0 小得多，根号里的第二项可以略去，所以

ω±≈ω0±eB2m\omega_\pm \approx \omega_0 \pm \frac{eB}{2m}

一个转得快一点，一个转得慢一点，差多少只和 ee、mm、BB 有关，和弹簧无关。换成频率，除以 2π2\pi，每条线移动

Δν=eB4πm\Delta\nu = \frac{eB}{4\pi m}

这就是正常塞曼效应的公式。

解出 ω ≈ ω₀ ± eB/2m：一个转得快一点，一个转得慢一点，差多少只和 e、m、B 有关，和弹簧无关。

图 10　解出 ω ≈ ω₀ ± eB/2m：一个转得快一点，一个转得慢一点，差多少只和 e、m、B 有关，和弹簧无关。

代数字。 塞曼 1897 年写，他那台电磁铁的磁场大约是「10⁴ C.G.S. 单位」，也就是大约 1 特斯拉。电子的电量和质量之比是 1.76×10111.76\times10^{11} 库仑每千克。代进去：

Δν=1.76×1011×14π≈1.4×1010 Hz\Delta\nu = \frac{1.76\times10^{11}\times 1}{4\pi} \approx 1.4\times10^{10}\ \text{Hz}

换成波长，Δλ=λ2Δν/c\Delta\lambda = \lambda^2\Delta\nu / c。钠的黄线波长是 589 纳米：

Δλ=(589×10−9)2×1.4×10103.0×108≈1.6×10−11 m=0.016 nm\Delta\lambda = \frac{(589\times10^{-9})^2 \times 1.4\times10^{10}}{3.0\times10^{8}} \approx 1.6\times10^{-11}\ \text{m} = 0.016\ \text{nm}

也就是 0.16 埃（1 埃是 0.1 纳米）。两条 D 线本身相距 0.6 纳米，磁场造成的移动大约是它的四十分之一。塞曼 1897 年量到的，正是四十分之一；后来在诺贝尔演讲里，他说成了「两条钠线间距的三十分之一，大约十分之二埃」，是同一个量级。

钠的两条黄线相距 0.6 纳米；1 特斯拉的磁场造成的移动约 0.016 纳米，大约是它的四十分之一。

图 11　钠的两条黄线相距 0.6 纳米；1 特斯拉的磁场造成的移动约 0.016 纳米，大约是它的四十分之一。

反过来。 量出 Δν\Delta\nu，就能算出

em=4π ΔνB\frac{e}{m} = \frac{4\pi\,\Delta\nu}{B}

塞曼就是这样，从谱线的变化里，第一次估出了电子的电量和质量之比。

正负号。 转圈的两种方向，哪一种频率高，取决于电量的正负：磁场朝着你的时候，你看到逆时针转的那一种，如果粒子带负电，频率就高。要分辨左旋和右旋，得用四分之一波片把圆偏振变成线偏振，波片的快轴和慢轴标反了，正负就判反了。这就是 1896 年那个错误的来源。

1902 年 12 月，斯德哥尔摩

1902 年，诺贝尔物理学奖颁给了两个人：洛伦兹和塞曼，一人一半。颁奖词是：表彰他们研究磁对辐射现象的影响，所作出的非凡贡献。塞曼的证书照片上能读出瑞典语原文，和 1901 年伦琴那份比，多了「一半」（hälften af）这个词。

瑞典皇家科学院院长泰尔（Hjalmar Théel）在颁奖演说里说，把这个奖分给这两位杰出的研究者，不仅有道理，而且公正。

12 月 10 日，斯德哥尔摩。塞曼病了，没能来。洛伦兹便从国王手里接过了奖。晚宴上他用德语致辞，说塞曼不能和他一样享有这份荣幸，这是唯一让这美好的一天蒙上阴影的事。

第二天，洛伦兹做诺贝尔演讲，题目是《电子论和光的传播》。讲到实验的时候，他说：请想象我的两只手就是磁铁的两极，只是比我现在举的要近得多，光源就在两手中间。

塞曼的诺贝尔演讲，推迟到了第二年的 5 月 2 日，题目是《磁场中的光辐射》。讲到谱线变化有多小，他说，大约是十分之二埃，接着说：这个单位的名字，总会让物理学家想起我这位可敬的同行的父亲做过的工作。埃这个单位，是以瑞典物理学家埃于格斯特伦（Anders Ångström）的名字命名的。

他还带了一个模型。讲到偏振的时候，他说：我把模型转过来，让箭头朝着你们。讲稿页末注着，整场演讲放了好几张幻灯片。

档案里写了什么

诺贝尔奖的提名档案，现在是公开的。1902 年的物理学奖，一共有 29 条提名。

洛伦兹得到了 10 条提名，提名人里有庞加莱（Henri Poincaré）、普朗克（Max Planck），还有上一届的得主伦琴。塞曼只有 1 条，提名他的是阿伦尼乌斯（Svante Arrhenius），档案上注明他是诺贝尔物理学委员会的委员。

没有任何一条提名，把他们两人放在一起。最后为什么决定两人分享，档案的公开页面上没有写。

这一年被提名、后来也得了奖的，还有好几位：贝克勒尔和居里（1903 年），瑞利（1904 年），勒纳德（1905 年），汤姆孙（1906 年），马可尼（1909 年），纪尧姆（1920 年）。阿伦尼乌斯自己也被提名了物理学奖，第二年他得的是化学奖。

还有一个人，和这个题目关系很近：苏格兰的克尔（John Kerr）。他发现了光从磁极抛光面反射时，偏振会改变，就是塞曼博士论文测量的那个效应。洛伦兹在演讲里也提到了他。开尔文勋爵（Lord Kelvin）提名了他。可是克尔终身没有得到诺贝尔奖。

网上还流传着一个说法：塞曼违抗导师的命令，用实验室的设备做实验，因此被大学开除。

我们能找到的最早出处，是 2009 年 4 月 3 日英文维基百科上一位匿名用户的一次编辑。这一版的前一版里，没有「违抗」，没有「开除」，也没有「导师」。同一次编辑里，还把他得奖的年份写成了 1908 年。

当年的记录正好相反：他的论文，就是导师昂内斯代他向科学院提交的。他在 1897 年的论文里感谢昂内斯一直关心这个课题。他离开莱顿，是因为阿姆斯特丹大学请他去当讲师。

还有两个常见的说法也不准确。一个是「洛伦兹预言了塞曼效应」。实际上是塞曼先看到，洛伦兹再解释，并预言了偏振。洛伦兹在诺贝尔演讲里自己也说，塞曼做出发现的时候，电子论的主要部分已经完成，已经能够解释这个新现象。另一个是「1896 年塞曼看到钠线分裂」，一些中文教材和讲义里还这么写。1896 年他看到的只是变宽，真正看到分开，是 1897 年的镉线。

奖金

1902 年的奖金是 141,847 瑞典克朗，是上一年的 94%。两人各得一半，每人大约七万克朗。

之后

科尔纽看到的四条线，后来有了一个名字：反常塞曼效应。洛伦兹的理论解释不了它。1922 年秋天，年轻的泡利（Wolfgang Pauli）应玻尔之邀到哥本哈根，想解开这个问题，结果觉得它更难以接近了。

答案在 1925 年出现。两个年轻的荷兰人，乌伦贝克（George Uhlenbeck）和古德斯密特（Samuel Goudsmit）提出，电子自己也在转，也就是我们今天说的自旋。他们那篇短文署的是「莱顿，1925 年 10 月 17 日」，正是塞曼当年做出发现的地方。泡利后来在他的诺贝尔演讲里说：这个空白，被乌伦贝克和古德斯密特的电子自旋填上了。

1923 年，阿姆斯特丹为塞曼专门盖了一座新实验室。楼里有一块 25 万公斤的混凝土台，地基和整栋楼分开打，好让实验不受振动的干扰。为了做磁学实验，盖楼时没用钢和铁。

洛伦兹后来去了哈勒姆，主持泰勒斯博物馆的实验室，还主持过前五届索尔维会议。索尔维会议由比利时化学家、制碱实业家欧内斯特·索尔维（Ernest Solvay）资助，主意是物理学家能斯特（Walther Nernst）出的。1911 年的第一届是一次私人性质的会议，只请了十八位科学家，讨论当时争议最大的问题：辐射和量子。

今天很多人知道他的名字，是因为洛伦兹变换。1904 年，洛伦兹写出了这组公式。第二年，庞加莱用他的名字给它命名，叫洛伦兹变换，还把其中一个系数定成了 1。同一年，爱因斯坦在狭义相对论里也推出了同一组公式。

1928 年 2 月 4 日，洛伦兹在哈勒姆去世，享年 74 岁。2 月 9 日下葬那天中午，荷兰全国的电报停了三分钟，从 12 点到 12 点零 3 分，连无线电报和船上的无线电也停了，只留下遇险信号。爱因斯坦在他的墓前说，他从来不想支配别人，只想为人服务。

塞曼 1935 年退休，1943 年 10 月在阿姆斯特丹去世，享年 78 岁。他和洛伦兹，葬在哈勒姆的同一处公墓。

今天，美国宇航局的太阳动力学天文台每天都在给太阳画磁场图。它靠的，还是塞曼效应：量出谱线在圆偏振光里的变化，就能算出磁场沿视线方向的强弱。这和 1908 年海尔在黑子里看到的，是同一件事。

在实验室里，物理学家用激光把原子冷却到接近绝对零度。其中一种关键的装置，叫塞曼减速器：一束原子迎着激光飞，激光不断把它们减速；原子慢下来以后，它迎着激光的速度变了，感受到的激光颜色也跟着变，这叫多普勒效应；减速器就用一路强弱变化的磁场，借塞曼效应把原子吸收的颜色调回来，让激光一直能推得动它们。

塞曼减速器：原子迎着激光飞、一路减速；减速器用一路强弱变化的磁场，借塞曼效应把原子吸收的颜色调回来，让激光一直推得动它们。

图 12　塞曼减速器：原子迎着激光飞、一路减速；减速器用一路强弱变化的磁场，借塞曼效应把原子吸收的颜色调回来，让激光一直推得动它们。

一团撒了盐的火焰，一块电磁铁，一条变宽的黄线。从这里，我们知道了原子里有电子，后来又知道了电子在自转。

下一集是 1903 年，贝克勒尔（Henri Becquerel）和皮埃尔·居里、玛丽·居里（Pierre Curie, Marie Curie）：一种自己会发出射线的物质。

附录 A　物理推导

正文「磁铁对光做了什么」「符号写反了」「从头算一遍」三节讲了一条主线：弹簧上的电子，三种运动，ω0±eB/2m\omega_0 \pm eB/2m，Δν=eB/4πm\Delta\nu = eB/4\pi m，0.016 纳米。这个附录把这条线从头推一遍，再补上正文没有展开的四件事：方程的精确解和三种运动为什么是「全部」；为什么顺着磁场看不到中间那条线；塞曼自己是怎么从展宽算出 e/me/m 的；四分之一波片标反了，为什么会把正负判反。每个结果后面配一个能自己算的例子。常数取自 NIST 的 CODATA 2018，钠 D 线的波长取自 NIST 原子光谱数据库，塞曼的数字取自他 1897 年发表在《哲学杂志》上的两篇论文和他 1903 年的诺贝尔演讲。

本附录符号

符号含义
ee电子电荷的大小，1.602176634×10−191.602176634\times10^{-19} 库仑
mm电子质量，e/m=1.75882×1011e/m = 1.75882\times10^{11} 库仑每千克
qq粒子的电荷，带符号；电子 q=−eq = -e
r\mathbf r，r˙\dot{\mathbf r}，r¨\ddot{\mathbf r}粒子离开平衡位置的位移、速度、加速度
B\mathbf B，BB磁场，取沿 zz 轴，大小 BB，单位特斯拉；1 特斯拉 =104= 10^4 高斯
HH塞曼论文里的磁场，电磁制 CGS 单位，数值上就是高斯数
ω0\omega_0没有磁场时弹簧振子的角频率，ω0=2πν0\omega_0 = 2\pi\nu_0
ωL\omega_LeB/2meB/2m，叫拉莫尔频率
σ\sigma圆周运动的角速度，带符号：正为逆时针，负为顺时针（见 A.1 的约定）
ν\nu，λ\lambda，TT光的频率、波长、周期，λν=c\lambda\nu = c，T=1/νT = 1/\nu
Δν\Delta\nu，Δλ\Delta\lambda磁场造成的频率移动、波长移动（单侧）
θ\theta视线和磁场的夹角
emu电磁制 CGS 的电荷单位，1 emu =10= 10 库仑
μB\mu_B玻尔磁子，μB/h=13.9962\mu_B/h = 13.9962 GHz 每特斯拉
gg朗德因子（只在 A.5 用到）

方向的约定. 本附录说「逆时针」「顺时针」，都是指磁场指向观察者时，观察者看到的旋转方向。塞曼 1897 年的论文用的是同一个约定（§18：「对站在磁力线指向的那一侧的观察者」）。

A.1　弹簧上的电子

定义 A1.1（洛伦兹的模型）。一个质量为 mm、电荷为 qq 的粒子，受一个把它拉回平衡位置的弹簧力 −mω02r-m\omega_0^2\mathbf r，放在沿 zz 轴的均匀磁场 B=Bz^\mathbf B = B\hat{\mathbf z} 里。它的运动方程是

mr¨=−mω02 r+q r˙×B.(A1.1)m\ddot{\mathbf r} = -m\omega_0^2\,\mathbf r + q\,\dot{\mathbf r}\times\mathbf B. \tag{A1.1}

第二项是磁场对运动电荷的力，叫洛伦兹力。它既垂直于速度，也垂直于磁场，所以不做功，只改变运动的方向。

命题 A1.2（沿磁场的分量不受影响）。(A1.1) 的 zz 分量是 z¨=−ω02z\ddot z = -\omega_0^2 z，频率仍为 ω0\omega_0。

证明. r˙×z^=(y˙,−x˙,0)\dot{\mathbf r}\times\hat{\mathbf z} = (\dot y, -\dot x, 0)，没有 zz 分量，所以 zz 方向只剩弹簧力。(证毕)

这就是中间那条不动的线。

命题 A1.3（平面内的两种圆周运动）。令 u=x+iyu = x + iy。在垂直于磁场的平面里，(A1.1) 化为

u¨=−ω02u−i qBm u˙.(A1.2)\ddot u = -\omega_0^2 u - i\,\frac{qB}{m}\,\dot u. \tag{A1.2}

它有两个圆周解 u=R eiσtu = R\,e^{i\sigma t}，σ\sigma 是带符号的角速度，由

σ2+qBm σ−ω02=0,σ±=−qB2m±ω02+(qB2m)2(A1.3)\sigma^2 + \frac{qB}{m}\,\sigma - \omega_0^2 = 0, \qquad \sigma_\pm = -\frac{qB}{2m} \pm \sqrt{\omega_0^2 + \Big(\frac{qB}{2m}\Big)^2} \tag{A1.3}

给出。对电子（q=−eq = -e）：

σ+=ω02+ωL2+ωL (逆时针),∣σ−∣=ω02+ωL2−ωL (顺时针),ωL=eB2m.(A1.4)\sigma_+ = \sqrt{\omega_0^2 + \omega_L^2} + \omega_L \ (\text{逆时针}), \qquad |\sigma_-| = \sqrt{\omega_0^2 + \omega_L^2} - \omega_L \ (\text{顺时针}), \qquad \omega_L = \frac{eB}{2m}. \tag{A1.4}

逆时针那一支转得快，顺时针那一支转得慢，两者的角速度正好相差 2ωL=eB/m2\omega_L = eB/m。正电荷反过来：顺时针快，逆时针慢。

证明. 洛伦兹力的 xx、yy 分量是 qB(y˙,−x˙)qB(\dot y, -\dot x)，合成复数：qB(y˙−ix˙)=−iqB(x˙+iy˙)=−iqB u˙qB(\dot y - i\dot x) = -iqB(\dot x + i\dot y) = -iqB\,\dot u，除以 mm 得 (A1.2)。代入 u=Reiσtu = R e^{i\sigma t}，u¨=−σ2u\ddot u = -\sigma^2 u，u˙=iσu\dot u = i\sigma u，得 −σ2=−ω02+(qB/m)σ-\sigma^2 = -\omega_0^2 + (qB/m)\sigma，即 (A1.3) 的二次方程，两根异号。σ>0\sigma > 0 时 uu 的辐角随时间增大，从 +z+z 一侧（磁场指向的一侧）看回来是逆时针。取 q=−eq = -e，−qB/2m=+ωL-qB/2m = +\omega_L，正根是 ωL+ω02+ωL2\omega_L + \sqrt{\omega_0^2+\omega_L^2}，负根的大小是 ω02+ωL2−ωL\sqrt{\omega_0^2+\omega_L^2} - \omega_L，相减得 2ωL2\omega_L。换成 q=+eq = +e，两根的大小互换。(证毕)

注 A1.4（为什么只有这三种）。(A1.1) 是线性方程，三个分量的通解是

z=Acos⁡(ω0t+φ),u=R+eiσ+t+R−eiσ−t,z = A\cos(\omega_0 t + \varphi), \qquad u = R_+e^{i\sigma_+ t} + R_-e^{i\sigma_- t},

AA、φ\varphi 两个实常数，R+R_+、R−R_- 两个复常数，一共六个实常数，正好对应六个初始条件（三个位置、三个速度）。所以粒子的任何一种运动，都是「沿磁场的直线振动」加「两个反向的圆」，再没有别的。这就是正文说的「任何振动都可以拆成三种」。塞曼在 1897 年的论文 §18 里提到，一般解里还有「慢慢转动的椭圆轨道」：一个椭圆就是两个反向圆的叠加，没有磁场时两个圆转得一样快，椭圆不动；有了磁场，两个圆一快一慢，椭圆的长轴就以 (σ+−∣σ−∣)/2=ωL(\sigma_+ - |\sigma_-|)/2 = \omega_L 的角速度慢慢转动。这是拉莫尔定理的内容。

命题 A1.5（一阶近似）。把根号展开，

∣σ±∣=ω0±ωL+ωL22ω0+O ⁣(ωL4ω03).(A1.5)|\sigma_\pm| = \omega_0 \pm \omega_L + \frac{\omega_L^2}{2\omega_0} + O\!\Big(\frac{\omega_L^4}{\omega_0^3}\Big). \tag{A1.5}

一阶就是正文的 ω≈ω0±eB/2m\omega \approx \omega_0 \pm eB/2m。二阶项两支相同，不改变两支之间的间距。

证明. ω02+ωL2=ω01+(ωL/ω0)2=ω0+ωL2/2ω0−ωL4/8ω03+⋯\sqrt{\omega_0^2 + \omega_L^2} = \omega_0\sqrt{1 + (\omega_L/\omega_0)^2} = \omega_0 + \omega_L^2/2\omega_0 - \omega_L^4/8\omega_0^3 + \cdots，代入 (A1.4)。(证毕)

移动量 ωL=eB/2m\omega_L = eB/2m 里只有 e/me/m 和 BB，没有 ω0\omega_0：任何一条谱线，只要能用这个模型描述，移动的频率都一样，和弹簧的软硬无关。

例 A1.6. 取 B=1B = 1 特斯拉，钠的黄线 λ=589\lambda = 589 纳米。ω0=2πc/λ=3.198×1015\omega_0 = 2\pi c/\lambda = 3.198\times10^{15} 弧度每秒，ωL=8.794×1010\omega_L = 8.794\times10^{10} 弧度每秒，两者之比 2.75×10−52.75\times10^{-5}。精确根和一阶近似只差 ωL2/2ω0=1.21×106\omega_L^2/2\omega_0 = 1.21\times10^6 弧度每秒，是 ω0\omega_0 的 3.8×10−103.8\times10^{-10}，远在任何光谱仪的分辨能力之外。两支的角速度相差 1.759×10111.759\times10^{11} 弧度每秒。这几个根我还用另一条路核过：把 (A1.1) 直接数值积分 40 个周期，量出转过的角度，和 (A1.4) 的两个根相符到百万分之一；磁场设为零时，两个方向都回到 ω0\omega_0。

A.2　从哪个方向看

引用 A2.1（远处的辐射场）。电荷 qq 以加速度 a\mathbf a 运动，速度远小于光速，离它距离 rr 处的电场是

E(t)=−q4πε0c2r a⊥ ⁣(t−rc),(A2.1)\mathbf E(t) = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0c^2r}\,\mathbf a_\perp\!\Big(t - \frac rc\Big), \tag{A2.1}

a⊥\mathbf a_\perp 是加速度在垂直于视线的平面上的投影。这里不推导，见费曼《物理学讲义》第一卷第 28 章，式 (28.6)。要紧的有两点：只有垂直于视线的那部分加速度发光；电场的方向，就是这部分加速度的方向。 电荷正对着你来回运动，你看不到它的光。

命题 A2.2（三种运动各发什么光）。设磁场沿 zz。

  1. 沿磁场的直线振动：顺着磁场看（θ=0\theta = 0）不发光；从侧面看（θ=90°\theta = 90°），电场沿 zz，是线偏振光，振动方向平行于磁场；一般方向上强度正比于 sin⁡2θ\sin^2\theta。
  2. 圆周运动：顺着磁场看，电场在视平面里转圈，是圆偏振光，旋转方向和粒子相同；从侧面看，电场只剩垂直于磁场的那个分量，是线偏振光，振动方向垂直于磁场，强度是顺着看时的一半。

证明. 1. 加速度 a=(0,0,az)\mathbf a = (0, 0, a_z)。视线沿 zz 时 a⊥=0\mathbf a_\perp = 0。视线沿 xx 时 a⊥=(0,0,az)\mathbf a_\perp = (0, 0, a_z)，电场沿 zz。视线和 zz 轴夹角为 θ\theta 时，∣a⊥∣=∣az∣sin⁡θ|\mathbf a_\perp| = |a_z|\sin\theta，强度正比于 ∣a⊥∣2|\mathbf a_\perp|^2。 2. 圆周运动的加速度指向圆心，a=−σ2(x,y,0)\mathbf a = -\sigma^2(x, y, 0)，大小不变、方向随粒子转。视线沿 zz 时整个 a\mathbf a 都在视平面里，E∝−q a\mathbf E \propto -q\,\mathbf a 跟着转，转向和粒子一样。视线沿 xx 时只剩 aya_y，电场沿 yy，垂直于磁场；ay2a_y^2 的时间平均是 ∣a∣2|\mathbf a|^2 的一半。(证毕)

例 A2.3（三条线的亮度）。设没有磁场时粒子的振动各个方向一样多，三种运动各分到相同的能量。按命题 A2.2，从侧面看，三条线的强度之比是 1:2:11 : 2 : 1（两边 : 中间 : 两边）；顺着磁场看，中间那条是 0，两边各为侧面看时的两倍。两个方向上收到的总光量相同，这和「各个方向一样多」的前提一致。塞曼 1897 年论文 §22 从侧面看到变宽谱线的两边是平面偏振光，§20 顺着磁场看到两边是旋向相反的圆偏振光，和这里的结论一样。

注 A2.4. 这就是为什么从侧面看是三条，顺着磁场看只有两条：中间那条的振动正对着你，按 (A2.1) 不发光。塞曼演讲里放的两张镉谱线照片，一张三重线、一张二重线，看的方向正是这两个。

A.3　数字

命题 A3.1（移动量）。一阶近似下，每条外侧线相对原线的频率移动和波长移动是

Δν=ωL2π=eB4πm,Δλ=λ2c Δν.(A3.1)\Delta\nu = \frac{\omega_L}{2\pi} = \frac{eB}{4\pi m}, \qquad \Delta\lambda = \frac{\lambda^2}{c}\,\Delta\nu. \tag{A3.1}

反过来，

em=4π ΔνB.(A3.2)\frac em = \frac{4\pi\,\Delta\nu}{B}. \tag{A3.2}

证明. 第一式是 (A1.5) 除以 2π2\pi。第二式：λ=c/ν\lambda = c/\nu，∣dλ∣=(c/ν2) dν=(λ2/c) dν|d\lambda| = (c/\nu^2)\,d\nu = (\lambda^2/c)\,d\nu。(A3.2) 是第一式解出 e/me/m。(证毕)

例 A3.2（钠 D 线，1 特斯拉）。NIST 原子光谱数据库给出的钠 D 线波长：D2 线 588.995 纳米，D1 线 589.592 纳米，相距 0.597 纳米。B=1B = 1 特斯拉时 Δν=13.996\Delta\nu = 13.996 GHz。代入 (A3.1)，D2 线每边移动 0.01620 纳米，D1 线 0.01623 纳米，都是 0.162 埃（1 埃 =0.1= 0.1 纳米）。单侧的移动是两条 D 线间距的 1/371/37；分裂后最外两条相距 0.032 纳米，是间距的 1/181/18。

塞曼自己报的数：1897 年论文 §14 说，磁场「约 10410^4 C.G.S. 单位」时，钠线向两边各变宽「约 1/401/40 」的 D 线间距，即 0.015 纳米；1903 年的演讲说成「两条钠线间距的三十分之一，大约十分之二埃」，即 0.020 纳米。0.015、0.016、0.020 三个数在同一个量级，他在论文里把这次测量叫作「初步的近似测量」。还要说明，钠的 D 线并不严格按这个模型分裂（见 A.5），他量到的是一条模糊谱线的总宽度，所以这个比较只到量级为止。10410^4 C.G.S. 单位就是 10410^4 高斯，正好 1 特斯拉。

例 A3.3（他用的单位）。塞曼论文 §23 说 e/me/m「数量级为 10710^7 电磁制 C.G.S. 单位」，演讲说「每克 10710^7 c.g.s. 单位」。换成今天的单位：电磁制的电荷单位 1 emu =10= 10 库仑，1 克 =10−3= 10^{-3} 千克，所以

107 emug=107×10 C10−3 kg=1011 Ckg.10^7\ \frac{\text{emu}}{\text{g}} = 10^7\times\frac{10\ \text{C}}{10^{-3}\ \text{kg}} = 10^{11}\ \frac{\text{C}}{\text{kg}}.

今天的值 e/m=1.7588×1011e/m = 1.7588\times10^{11} 库仑每千克，就是 1.7588×1071.7588\times10^7 emu 每克。同一个数，国际单位制里是 101110^{11}，他的单位里是 10710^7。电解里氢离子的 e/me/m 是 9.58×1079.58\times10^7 库仑每千克，电子比它大 1836 倍；塞曼说「一千倍」，是取数量级。

例 A3.4（塞曼自己的反算）。论文 §18 的 (6) 式是

ΔTT=em⋅HT4π,\frac{\Delta T}{T} = \frac em\cdot\frac{HT}{4\pi},

TT 是周期。这正是 (A1.5) 的一阶结果：Δω/ω0=ωL/ω0=eB/(2mω0)=eBT/(4πm)\Delta\omega/\omega_0 = \omega_L/\omega_0 = eB/(2m\omega_0) = eBT/(4\pi m)，只是他的 ee 用电磁制单位、HH 用高斯。他代的数（论文 p.230）：变宽是 D 线间距的 1/401/40，两条 D 线的周期相差千分之一，所以周期的相对变化是 1/40,0001/40{,}000；H=104H = 10^4；T=λ/c=1.965×10−15T = \lambda/c = 1.965\times10^{-15} 秒。于是

em=4π40,000×104×1.965×10−15=1.60×107 emug,\frac em = \frac{4\pi}{40{,}000\times10^4\times1.965\times10^{-15}} = 1.60\times10^7\ \frac{\text{emu}}{\text{g}},

确实是「10710^7 的量级」，而且只比今天的值低 9%。对一次他自己称为初步的测量，这个准头相当高。

例 A3.5（汤姆孙）。汤姆孙 1897 年 10 月的论文（《哲学杂志》第 44 卷）用两种方法测阴极射线粒子的 m/em/e：第 306 页的表给出 0.30.3 到 0.6×10−70.6\times10^{-7}，第 310 页的表给出 1.11.1 到 1.5×10−71.5\times10^{-7}，单位同样是电磁制。他的结论是「m/em/e 的值与气体的种类无关，其值 10−710^{-7} 和先前已知的最小值 10−410^{-4}，即电解中氢离子的值相比，是非常小的」。倒过来，e/me/m 在 0.70.7 到 3×1073\times10^7 emu 每克之间，和塞曼从谱线得到的 10710^7 同一量级。两个毫不相干的实验，一个看火焰的光，一个看真空管里的射线，量到同一个数：阴极射线里飞的和原子里发光的，是同一种粒子。

A.4　符号

命题 A4.1（旋向定正负）。磁场指向观察者。若频率高的那条圆偏振光逆时针转，发光的粒子带负电；若顺时针转，带正电。

证明. 由命题 A1.3，电子逆时针那一支快；由命题 A2.2 第 2 条，顺着磁场看，光的电场和粒子转向相同。所以电子发出的两条圆偏振光，逆时针的那条频率高。正电荷由 (A1.3) 反过来。(证毕)

塞曼 1897 年论文 §18 是按正离子写的：「若沿正方向旋转（对站在磁力线指向的那一侧的观察者，即顺时针），周期略短」，和这里一致。他在 §24 由实验得出「在转动的是正离子」；同年 7 月的论文（《哲学杂志》第 44 卷第 58 页）在脚注里改正：「辐射主要来自一个带负电粒子的运动。我的错误大概出在所用四分之一波片的轴标错了」。两处的实验陈述正好相反：3 月说顺着磁力线看，右旋光的周期较短；7 月说右旋光的周期较长。改的是读数，不是理论。

命题 A4.2（四分之一波片）。四分之一波片有两根互相垂直的轴，快轴和慢轴，沿慢轴振动的光比沿快轴的落后四分之一个波长。一束圆偏振光穿过它，变成线偏振光，振动方向在两根轴的 45° 线上；逆时针和顺时针两种圆偏振，出来的线偏振方向互相垂直。把快轴和慢轴的标签对调，两个出口正好互换。

证明. 用琼斯矩阵。取快轴为 xx，慢轴为 yy，波片是 J=diag(1,i)J = \mathrm{diag}(1, i)（yy 分量落后 90°）。两种圆偏振光写成 (1,±i)/2(1, \pm i)/\sqrt2，穿过波片得 (1,±i⋅i)/2=(1,∓1)/2(1, \pm i\cdot i)/\sqrt2 = (1, \mp1)/\sqrt2：两个都是线偏振，方向分别在 −45°-45° 和 +45°+45°，互相垂直。在出口放一块尼科耳棱镜（只放过一个方向的线偏振光），转到 +45°+45° 时放过一种圆偏振、挡住另一种，转过 90° 时反过来。把两根轴的标签对调，等于在计算里用 J′=diag(1,−i)J' = \mathrm{diag}(1, -i)，输出变成 (1,±1)/2(1, \pm1)/\sqrt2：原来 −45°-45° 出来的现在从 +45°+45° 出来。(证毕)

塞曼 1897 年论文 §20 描述的正是这个实验：波片和尼科耳摆到让右旋光熄灭的位置，变宽谱线的一边看不见了；把尼科耳转 90°，另一边看不见；把电磁铁的电流反向，看得见的那一边也换了。§21 说，固定波片、转动尼科耳，谱线在一圈里「两次变宽、两次变细」。

注 A4.3（为什么这个错误能藏住）。§20 里的两个检验，转尼科耳和反电流，都只说明谱线两边的圆偏振旋向相反，它们对标签没有要求：标签贴反了，这两个检验照样通过。要知道哪一边是逆时针，只有一条路，就是相信波片上快轴和慢轴的标记。整篇论文里，只有「正离子」这一个结论压在一块玻璃片的标签上，其余结论都不受它影响；标签错了，就只错这一个。洛伦兹在诺贝尔演讲里说「振动的是负电子」，塞曼在演讲里说「振动的电子带负电」，都是改正以后的说法。

A.5　预告：反常塞曼效应和自旋

能级的说法. 今天我们说，原子只能处在一组固定的能量状态上，叫能级；发光是从高能级跳到低能级，光的频率由两级的能量差决定。磁场把一个能级劈成等间距的几层，每层的移动量是

ΔE=g μB mJ B,(A5.1)\Delta E = g\,\mu_B\,m_J\,B, \tag{A5.1}

mJm_J 是整数或半整数的编号，μB=eℏ/2m\mu_B = e\hbar/2m 叫玻尔磁子，gg 是一个由能级决定的因子，叫朗德因子。跳跃时 mJm_J 只能变 0 或 ±1\pm1。

命题 A5.1（经典结果为什么对）。上下两个能级的 gg 都等于 1 时，谱线分成三条，间隔 μBB/h\mu_B B/h，而

μBBh=eℏ2m⋅B2πℏ=eB4πm,(A5.2)\frac{\mu_B B}{h} = \frac{e\hbar}{2m}\cdot\frac{B}{2\pi\hbar} = \frac{eB}{4\pi m}, \tag{A5.2}

和 (A3.1) 完全相同。

证明. g=1g = 1 时，跳跃前后 mJm_J 变 00、+1+1、−1-1 的三组，频率分别移动 00、+μBB/h+\mu_B B/h、−μBB/h-\mu_B B/h，三组内部各自频率相同。(A5.2) 是代入 ℏ=h/2π\hbar = h/2\pi。(证毕)

所以对这一类谱线，洛伦兹的经典推导给出的是精确答案，不是近似。g=1g = 1 的条件是：参与跳跃的两个能级里，电子的自旋加起来为零。镉的红线（643.8 纳米）就是这样，塞曼演讲里那张标准的三重线照片用的就是镉。

引用 A5.2（朗德因子）。能级由三个量子数 LL、SS、JJ 标记，

g=J(J+1)−S(S+1)+L(L+1)2J(J+1)+gs J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)2J(J+1),gs=2.00232.g = \frac{J(J+1) - S(S+1) + L(L+1)}{2J(J+1)} + g_s\,\frac{J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}, \qquad g_s = 2.00232.

这里不推导。gsg_s 是电子自旋的因子：电子自身的磁矩和自旋之比，是轨道运动对应比值的两倍（多出的 0.00232 来自量子电动力学）。

例 A5.3（钠 D 线）。钠的 D 线是 2P→2S^2P \to {}^2S 跳跃，S=1/2S = 1/2。按引用 A5.2 算出 g(2S1/2)=2.0023g({}^2S_{1/2}) = 2.0023，g(2P1/2)=0.6659g({}^2P_{1/2}) = 0.6659，g(2P3/2)=1.3341g({}^2P_{3/2}) = 1.3341。谱线位置以 μBB/h\mu_B B/h 为单位：

谱线跳跃条数位置
镉红线 643.8 nm1D2→1P1^1D_2 \to {}^1P_1300，±1\pm1
钠 D1 589.6 nm2P1/2→2S1/2^2P_{1/2} \to {}^2S_{1/2}4±0.668\pm0.668，±1.334\pm1.334
钠 D2 589.0 nm2P3/2→2S1/2^2P_{3/2} \to {}^2S_{1/2}6±0.334\pm0.334，±1.000\pm1.000，±1.668\pm1.668
镉蓝线 480.0 nm3S1→3P1^3S_1 \to {}^3P_16±0.501\pm0.501，±1.501\pm1.501，±2.002\pm2.002

最后一行是塞曼 1897 年 7 月那篇论文拍到三重线和二重线用的线（他写的是「镉的蓝线，λ=480 μμ\lambda = 480\ \mu\mu」）。按今天的算法它分六条：中间一对 ±0.5\pm0.5，两边各一对 1.51.5 和 22。当年的光栅分不开相邻的两条，看到的就是中间一条、两边各一条，所以他的「三重线」是分辨能力的结果，不是正常三重线；它的外侧间距约为正常值的 1.75 倍。真正按 (A3.1) 分三条的，是 S=0S = 0 的跳跃，比如上面的镉红线。

把 gsg_s 改成 1，也就是假定自旋的磁矩和轨道一样，两条 D 线都退回到 00、±1\pm1 三条。所以「反常」的来源就是自旋。塞曼 1896 年第一次看到变宽的两条线，本身就是反常的：D1 分四条，D2 分六条，只是他的光栅分不开，看到的是一条变宽的线。演讲里提到科尔纽看到的四重线，就是这一类。这个空白要等到 1925 年才填上，正文最后一节「之后」讲了那段。

本附录的数据来源. NIST CODATA 2018（e/me/m，μB\mu_B，μB/h\mu_B/h 三个常数页面）；NIST 原子光谱数据库（钠 D 线波长表、钠和镉的能级表）；塞曼，《哲学杂志》第五辑第 43 卷（1897 年 3 月）226–239 页，§14（变宽 1/401/40、10410^4 C.G.S. 单位、周期变化 1/40,0001/40{,}000，第 230 页），§18（方程 (4)–(6)、旋向规则，第 233 页），§20–§24（波片实验、e/me/m 的量级、「正离子」），第 230 页和第 233 页按 archive.org 的扫描页核过；塞曼，同刊第 44 卷（1897 年 7 月）55–60 页，第 58 页脚注；汤姆孙，同刊第 44 卷（1897 年 10 月）293–316 页，第 306、310 页的表和第 310 页的结论；塞曼 1903 年 5 月 2 日的诺贝尔演讲和洛伦兹 1902 年 12 月 11 日的诺贝尔演讲（nobelprize.org 英译）；费曼《物理学讲义》第一卷第 28 章。凡是从这些数据算出来的数，都由脚本 verify_appA.py 算出，原始文本、网页和两页扫描一并存档；脚本同时核对每一句引文在存档的原文里确实存在。塞曼论文的 OCR 文本在分数和上标处不可靠，1/40,0001/40{,}000 和 (6) 式是从页面图像上读的。

参考来源

按正文第一次出现的顺序编号。【一手】= 原始文献、当时的报刊或机构自己的著录；【二手】= 后人的研究或转述；【一手·索引】= 档案馆的索引条目，没有看原件扫描。

  1. P. Zeeman，Light Radiation in a Magnetic Field，诺贝尔演讲，1903-05-02，nobelprize.org【一手】：https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1902/zeeman/lecture/
  2. Bence Jones，The Life and Letters of Faraday，第 2 卷（1870），p.449（archive.org lifelettersoffar02joneuoft）【一手】：https://archive.org/details/lifelettersoffar02joneuoft
  3. J. C. Maxwell，Address to the Mathematical and Physical Sections of the British Association（Liverpool，1870-09-15），The Scientific Papers of James Clerk Maxwell 第 2 卷（1890），p.225（archive.org scientificpapers02maxwuoft）【一手】：https://archive.org/details/scientificpapers02maxwuoft
  4. P. Zeeman，On the Influence of Magnetism on the Nature of the Light emitted by a Substance，Philosophical Magazine 5th ser. 43（1897-03），pp.226–239（archive.org londonedinburgh5431897lon）【一手】：https://archive.org/details/londonedinburgh5431897lon
  5. Nature 27（1883-01-25），p.296（Groneman 文章，引塞曼来信）【一手】
  6. 诺贝尔奖官方：塞曼传记、洛伦兹传记（出自 Les Prix Nobel），nobelprize.org【一手·机构】：https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1902/zeeman/biographical/ · https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1902/lorentz/biographical/
  7. P. Zeeman，Metingen over het verschijnsel van Kerr bij polaire terugkaatsing op ijzer, kobalt en nikkel，博士论文，莱顿，1893（扉页与序言，lorentz.leidenuniv.nl）【一手】：https://www.lorentz.leidenuniv.nl/history/proefschriften/sources/Zeeman_1893.pdf
  8. 荷兰民事档案索引（Open Archives）：塞曼出生（宗讷迈尔，1865）、结婚（多德雷赫特，1895）；洛伦兹出生（阿纳姆，1853）、结婚（阿姆斯特丹，1881）、子女出生与死亡（莱顿）、死亡（哈勒姆，1928）【一手·索引】
  9. A. J. Kox，The discovery of the electron: II. The Zeeman effect，European Journal of Physics 18（1997），pp.139–144【二手】：https://pure.uva.nl/ws/files/3655500/2775_26336y.pdf
  10. Staatscourant 1894-01-12（塞曼私人讲师）；Staatscourant 1877-11-19、Arnhemsche Courant 1878-01-29（洛伦兹任教授）；阿姆斯特丹市议会任命塞曼为讲师的报道（1896-12）；Het Volk 1923-06-19（新实验室开幕）；1943 年塞曼讣告与新闻；De Nieuwe Courant 1910-01-23 与 1912 年 5 月报道（洛伦兹去哈勒姆）；Haagsche Courant 1918-07-08（须德海委员会）。均见荷兰国家图书馆 Delpher【一手】
  11. P. Zeeman，Over den invloed eener magnetisatie op den aard van het door een stof uitgezonden licht（I、II），Verslagen van de gewone vergaderingen der wis- en natuurkundige afdeeling（KNAW Amsterdam）5（1896/97），pp.181–184、242–248（archive.org verslagvandegewo05_1896）【一手】：https://archive.org/details/verslagvandegewo05_1896
  12. Rijksdienst voor het Cultureel Erfgoed，国家文物登记 518497 号（阿姆斯特丹 Plantage Muidergracht 物理实验室）【一手·机构】：https://monumentenregister.cultureelerfgoed.nl/monumenten/518497
  13. Biografisch Woordenboek van Nederland（BWN），Lorentz 条，resources.huygens.knaw.nl【二手】：https://resources.huygens.knaw.nl/bwn1880-2000/lemmata/bwn1/lorentz
  14. H. A. Lorentz，Over de theorie der terugkaatsing en breking van het licht，博士论文，莱顿，1875（扉页，archive.org overdetheoriede00loregoog）【一手】：https://archive.org/details/overdetheoriede00loregoog
  15. H. A. Lorentz，La théorie électromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants（Leiden：Brill，1892），p.70 §74（archive.org lathorielectrom00loregoog）【一手】：https://archive.org/details/lathorielectrom00loregoog
  16. Voorwaarts，1928-02-09（洛伦兹下葬、全国电报停三分钟）（Delpher）【一手】
  17. Nature 55（1897-02-11），p.347，The Effect of Magnetisation on the Nature of Light emitted by a Substance【一手】：https://archive.org/details/nature5518961897lock
  18. O. Lodge，Proceedings of the Royal Society of London 60（1897），pp.513–514（Received and read February 11, 1897）【一手】：https://archive.org/details/per_proceedings-of-the-royal-society-of-london_proceedings-o_april-23-1896-february-18-1897_60
  19. P. Zeeman，Doublets and Triplets in the Spectrum produced by External Magnetic Forces，Philosophical Magazine 5th ser. 44（1897-07），pp.55–60；p.58 脚注（改正符号）；p.60 附 Disclaimer by Prof. Lodge（archive.org londonedinburg5441897lond）【一手】：https://archive.org/details/londonedinburg5441897lond
  20. P. Zeeman，Philosophical Magazine 5th ser. 45（1898-02），p.197（好照片拍于 1897 年 10 月）【一手】
  21. A. Cornu，Comptes rendus de l’Académie des sciences 126（1898-01-17），p.183【一手】：https://archive.org/details/ComptesRendusAcademieDesSciences0126
  22. A. A. Michelson，Philosophical Magazine 5th ser. 45（1898），p.348 起【一手】
  23. T. Preston，Philosophical Magazine 5th ser. 45（1898-04），pp.325–338 与图版 XXIII（archive.org londonedinburgh5451898lon）【一手】：https://archive.org/details/londonedinburgh5451898lon
  24. G. E. Hale，On the Probable Existence of a Magnetic Field in Sun-Spots，Astrophysical Journal 28（1908），pp.315–343，p.321、p.327、p.330 与图版 XXVI（archive.org astrophysicaljou28ameruoft）【一手】：https://archive.org/details/astrophysicaljou28ameruoft
  25. J. J. Thomson，Cathode Rays，Philosophical Magazine 5th ser. 44（1897），pp.293–316，p.310；同题演讲，Proceedings of the Royal Institution 15（1897），p.432【一手】
  26. P. Lenard，On Cathode Rays，诺贝尔演讲，1906-05-28，nobelprize.org【一手】：https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1905/lenard/lecture/
  27. 诺贝尔奖官方：1902 年物理学奖两人的事实页与颁奖词；颁奖演说（Hj. Théel）；洛伦兹宴会致辞（德语）；nobelprize.org【一手】：https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1902/lorentz/facts/ · https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1902/ceremony-speech/ · https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1902/lorentz/speech/
  28. 塞曼的诺贝尔证书照片（布尔哈弗博物馆展柜，Wikimedia Commons，CC BY 2.0）【一手·照片】
  29. H. A. Lorentz，The Theory of Electrons and the Propagation of Light，诺贝尔演讲，1902-12-11，nobelprize.org【一手】：https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1902/lorentz/lecture/
  30. 诺贝尔提名档案，物理学奖 1902 年（29 条），nobelprize.org【一手】：https://www.nobelprize.org/nomination/archive/list.php?prize=1&year=1902
  31. 英文维基百科 Pieter Zeeman 条，修订 281524484（2009-04-03）及其上一版（2009-03-03），维基 API【一手】
  32. 诺贝尔基金会，Prize amount and market value of invested capital（2023 版）【一手】：https://www.nobelprize.org/uploads/2023/04/prize-amounts-2023-2.pdf
  33. W. Pauli，Exclusion Principle and Quantum Mechanics，诺贝尔演讲，1946-12-13，nobelprize.org【一手】：https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/pauli-lecture.pdf
  34. G. E. Uhlenbeck、S. Goudsmit，Die Naturwissenschaften 13（1925-11-20），pp.953–954【一手】：https://archive.org/details/sim_naturwissenschaften_1925-11-20_13_47
  35. Instituts Internationaux de Physique et de Chimie Solvay，La théorie du rayonnement et les quanta（Paris：Gauthier-Villars，1912），标题页与开幕、闭幕致辞（archive.org lathoriedurayo00inst）；N. Straumann，2011（索尔维的身份）【一手；二手】：https://archive.org/details/lathoriedurayo00inst
  36. H. A. Lorentz，Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light，Proceedings KNAW 6（1904），p.809；H. Poincaré，Sur la dynamique de l’électron，Comptes rendus 140（1905），p.1504；A. Einstein，Zur Elektrodynamik bewegter Körper，Annalen der Physik 17（1905），pp.891–921，§3【一手】
  37. A. Einstein，在洛伦兹墓前的讲话（1928-02-09），The Collected Papers of Albert Einstein 第 16 卷，第 147 号（英译）【一手】
  38. Stanford JSOC，HMI Magnetograms 说明页；NASA 太阳动力学天文台 HMI 磁图（2014）【一手·机构】：http://jsoc.stanford.edu/HMI/Magnetograms.html
  39. W. D. Phillips，Laser cooling and trapping of neutral atoms，诺贝尔演讲，1997-12-08，pp.204–205 与图 4【一手】