诺贝尔物理学奖（三）1903：贝克勒尔、居里夫妇，和抽屉里的一张底片

配套视频（YouTube）：英文原声，可切换中文配音，中英字幕

这个系列的起点，是我的一位老师。他总愿意在朋友圈里和大家分享点什么。

我不是专家，也不是教授，只是一个喜欢科学的人。在人工智能的时代里，我常常感到迷茫，但我没有放弃自己热爱的事。

这个系列献给同样迷茫的人：献给敢于面对未知的人，献给走进未知去探索的人，也献给那些从未停下脚步、一直朝着梦想走的人。

也让我们不要忘记那些先驱者。

1903 年 3 月，加拿大一张报纸的标题是：镭现在只要一磅 90 万美元。这一集从镭上报纸讲起，再讲发现它的三个人、一张底片、钋和镭怎么分出来、镭为什么一直在放热，然后把衰变定律从头算一遍，最后是提名信、颁奖和后来的事。

镭上了报纸标题

1903 年，镭上了报纸标题。3 月 7 日，加拿大《维多利亚每日时报》的标题是：镭现在只要一磅 90 万美元（RADIUM NOW ONLY $900,000 A POUND）。

文章一开头就说：从伦敦来的电讯得知，镭的价格从一磅一百万美元降到了九十万，真叫人欣慰。这是在讽刺。

4 月，美国的《哈珀周刊》说，自从伦琴射线以来，还没有哪个发现引起过这么大的兴趣、这么耸动的猜测。

第二年，伦敦的《名利场》杂志画了居里夫妇的漫画：皮埃尔手里举着一管发光的镭。

镭还会烧伤人，先被烧伤的，是做实验的人自己。1901 年 6 月，皮埃尔·居里（Pierre Curie）和贝克勒尔（Henri Becquerel）向法国科学院报告：皮埃尔让镭盐隔着一层薄胶皮照自己的手臂，照了十个小时。皮肤红了一块，像烧伤，却几乎不疼，到第五十二天还没完全长好。

同一篇报告里，也写了贝克勒尔自己。他把一小管镭盐装在纸盒里，揣在背心口袋的角上，前后加起来大约 6 个小时。后来皮肤上起了一块 6 厘米长、4 厘米宽的红斑，过了 49 天伤口才合上。

玛丽后来回忆，贝克勒尔来告诉他们这件事，说到镭，他又高兴又恼火地喊道：我爱它，可我也怨它（Je l’aime, mais je lui en veux）。

但是会伤人的东西，也许也能治病，因为射线可以杀死细胞。1901 年，巴黎圣路易医院的两位医生 Danlos 和 Bloch，用皮埃尔借给他们的镭，治一种叫红斑狼疮的皮肤病。三个月后，敷过镭的地方好转了。

他们在报告里说，镭的好处是有效、简单、无害（activité, simplicité, innocuité）。可就在这篇报告的开头，他们刚写过：贝克勒尔和居里夫妇是吃了自己的亏（à leurs dépens），才知道这种射线会伤害活的组织。

后来，镭被涂在钟表的表盘上，让指针在夜里发光。美国工厂里画表盘的女工，习惯用嘴唇把笔尖抿尖，每画一个，就吃下一点镭。

1932 年，美国人拜尔斯（Eben M. Byers）死于镭中毒，起因是喝一种含镭的水。

X 射线也是这样。我们在 1901 年那一集讲过，爱迪生的助手达利（Clarence Dally）长年做 X 光实验。1904 年他去世的时候，《纽约时报》的讣告说他是科学的殉道者（a martyr to science）。

X 射线和镭，都是刚发现就被拿去用，过了一些年，人们才知道它们有多危险。科学带来的是未来还是灾难，一开始常常没有人知道，代价先落在了离它最近的人身上：做实验的人，画表盘的女工，喝镭水的人，以及那些为科学殉道的人。

这种又贵、又会发光、又会伤人的东西，是贝克勒尔、皮埃尔·居里和玛丽·居里（Marie Curie）三个人发现的。

这三个人

贝克勒尔

亨利·贝克勒尔 1852 年 12 月 15 日出生在巴黎自然史博物馆里一栋安静的房子里，他的祖父和父亲都在那里度过了一生。

1889 年，36 岁的他当选法国科学院院士；1892 年，成了自然史博物馆的应用物理教授。

1872 年考入巴黎综合理工学校，1874 年进国立路桥学校。
第一任妻子，有两种说法：官方传记写土木工程师的女儿 Janin 小姐；法国科学院 1963 年的悼文写物理学家 Jamin 的女儿。1878 年 2 月 5 日儿子 Jean 出生，她二十岁，产后不久去世。
1888 年获理学博士。
1895 年起兼任巴黎综合理工学校教授。
1903 年 12 月到斯德哥尔摩领奖，12 月 11 日做诺贝尔演讲。
1908 年 6 月 29 日当选法国科学院常任秘书。接替谁也有两种说法：官方传记写贝特洛（Marcellin Berthelot），1963 年的悼文写德拉帕朗（Albert de Lapparent）。
1908 年 8 月 25 日在勒克鲁瓦西克去世，55 岁。同僚达布（Gaston Darboux）在葬礼上说他走得又快，又没有人想到。日期和地点来自官方传记，当年的报纸我们没有查到。

皮埃尔·居里

另外两个人，是一对夫妻。

皮埃尔·居里 1859 年生在巴黎。年轻时，他和哥哥雅克（Jacques Curie）一起发现，石英片受压的时候，两面会出现电荷，压得越重，电荷越多。这就是压电效应。玛丽后来写道，这个发现「完全不是偶然」。

1882 年起，他在巴黎市立工业物理化学学校带实验。1895 年，他凭磁学方面的论文拿到了博士学位。

1859 年 5 月 15 日生于巴黎植物园对面的居维叶街（rue Cuvier）。
物理学士学位的时间有两种说法：玛丽写「十八岁」，官方传记写 1878 年。十九岁给 Desains 当实验助手。
1895 年 7 月在索镇结婚。日子也是两说：玛丽的法文版写 25 日，居里和约里奥-居里协会写 26 日。索镇的民事登记能定这件事，我们没有查。
1900 年先到巴黎综合理工学校当辅导教师，后来经庞加莱（Henri Poincaré）推荐，到索邦任课。
1903 年 6 月在英国皇家研究院演讲，同年和玛丽同获戴维奖章。
1904–05 学年任巴黎理学院正教授。
1905 年 7 月 3 日当选法国科学院院士，51 票里得 29 票，Gernez 22 票。
1906 年 4 月 19 日去世，葬在索镇。

玛丽·居里

玛丽·居里，娘家姓斯克沃多夫斯卡（Skłodowska），1867 年 11 月 7 日生在华沙。

1891 年 11 月，24 岁的她终于来到巴黎读书，后来她说，这是圆了一个梦。1893 年，她拿到物理学学士，考了第一名；第二年拿到数学学士，第二名。

1894 年春天，她第一次见到皮埃尔。1895 年 7 月，两人在巴黎南边的索镇结婚。1897 年 9 月，大女儿伊雷娜（Irène）出生。那一年的年底，她开始做博士论文。

不到十七岁离家当家庭教师。官方传记说她参加过学生革命组织、为谨慎起见去了克拉科夫；她自己的笔记里没有这回事。
1900 年到塞夫尔女子高等师范学校教物理。
1903 年 6 月博士答辩。印本论文的扉页上写着 Soutenues le [空白] juin 1903，日子是空着的。常见的「6 月 25 日」出自法国国家图书馆的网页，我们没有找到当年的记录。
1906 年接替皮埃尔在索邦的课，两年后成为正教授。
1911 年 12 月独自获诺贝尔化学奖。
1934 年 7 月 4 日去世。地点有三种写法：科学院的悼词只说「一家山区疗养院」，诺贝尔官网写 Sallanches，官方传记写萨瓦。

她选的题目，就是贝克勒尔一年多前发现的那种射线。

一张底片

这种射线，要从 1896 年的一张照相底片说起。

1896 年初，伦琴（Wilhelm Röntgen）发现 X 射线的消息传到巴黎。贝克勒尔后来说，就在消息传来的那一天，他想到要查一件事：会发磷光的物质，是不是也会发出这样的射线。

磷光，就是一些物质被光照过以后，自己再发一会儿光。贝克勒尔挑了一种铀盐，硫酸铀酰钾，它的磷光很特别。

他把铀盐放在用黑纸包好的底片上，拿到太阳下晒几个小时。黑纸挡得住阳光，所以只要底片上出现了影子，就说明铀盐发出了别的东西，能穿过黑纸。

铀盐放在黑纸包好的底片上，拿到太阳下晒。黑纸挡得住阳光，底片上要是出现影子，只能是铀盐发出了别的东西。

图 1　铀盐放在黑纸包好的底片上，拿到太阳下晒。黑纸挡得住阳光，底片上要是出现影子，只能是铀盐发出了别的东西。

冲出来，底片上真有铀盐的轮廓。2 月 24 日，他向法国科学院报告：这种磷光物质发出的射线，能穿过不透光的纸，让底片上的银盐感光。那时他以为，这是晒过太阳的磷光在起作用。

一周以后，他又报告了一件事，还专门交代了来龙去脉。2 月 26 日和 27 日，他准备了几组新的实验，可那两天太阳时有时无。他就把装好的底片收进柜子的抽屉里，铀盐原样留在上面。之后几天，太阳一直没出来。

没有太阳，底片和上面的铀盐一起收进抽屉，一连放了几天。

图 2　没有太阳，底片和上面的铀盐一起收进抽屉，一连放了几天。

3 月 1 日，他还是把底片冲了出来。他原以为影子会很淡，结果正相反，轮廓非常清楚（Les silhouettes apparurent, au contraire, avec une grande intensité）。

那张底片今天还看得到。上面有他自己的字：26 日放在散射光下，27 日晒过太阳，3 月 1 日冲洗（Exposé au soleil le 27. et à la lumière diffuse le 26. – Développé le 1er mars.）。底片上，十字的影子还在，那是压在铀盐和底片之间的一片薄铜十字。

他马上想到，在黑暗里，这种作用也并没有停下，就接着做实验去检验。他在同一份报告里写：同样的铀盐晶片，挡住外面的光，放在黑暗里，照样让底片感光。

常听到的说法是，贝克勒尔是因为阴天，偶然发现了放射性。阴天和抽屉都是真的，是他自己交代的。可是，他明知底片在抽屉里放了几天，还是特意冲了出来；看到影子以后，又马上去做检验。运气也给了他机会，而抓住它的是他自己。

那年春天，他把手头的铀盐一种一种试过去：会发磷光的，不发磷光的；结成晶体的，熔化的，溶在水里的，结果都差不多。5 月 18 日，他得出结论：起作用的不是磷光，是铀这种元素本身。

铀，不用晒太阳，不用加热，不用通电，自己就在不停地往外发射线。

消息怎么传开

1896 年的春天，法国科学院每个星期一开会。从 2 月 24 日到 3 月 30 日，六次会里贝克勒尔报了五次；5 月 18 日又报了一次。

消息传到了杂志上。3 月 15 日，罗马的一份文艺和科学杂志《新文选》（Nuova Antologia）写道：贝克勒尔发现，铀盐发了磷光以后会放出射线，能穿过不透光的纸，让银盐感光。5 月，伦敦的大众月刊《闲暇时光》（The Leisure Hour）也是这么讲的：一块铀盐晶体放在铝片上，铝片下面是底片，让太阳照着，底片上就出现了晶体的影子。

两篇讲的，都是要先晒太阳。可贝克勒尔 3 月 2 日就报告了黑暗里也感光这件事，我们找到的这几篇都没有讲。法国当年的报纸我们没有查到，那里可能有更早、也更准的报道。

钋和镭

两年后，玛丽接着研究这种射线。

她不用底片，用的是一种更准的办法。空气本来不导电。射线穿过空气，会把空气分子撕成带正电和带负电的离子，空气就能导电了。射线越强，导电越厉害。把要测的粉末铺在一块金属板上，上方几厘米再放一块，两块板加上电压，量一量流过的电流有多大就行了。

射线把空气分子撕成正负离子，空气就能导电；射线越强，电流越大。玛丽用这个电流来量射线。

图 3　射线把空气分子撕成正负离子，空气就能导电；射线越强，电流越大。玛丽用这个电流来量射线。

读这个电流，用的是皮埃尔兄弟发现的压电石英。在石英下面挂个盘子，往里慢慢加砝码，石英放出的电荷和砝码的重量成正比，符号正好和射线带来的相反。调节加砝码的快慢，让静电计的针一直不动，射线有多强，就变成了两个数：加了多重的砝码，用了多少秒。这就能用绝对单位读出来。

她把能找到的化合物和矿物一样一样量过去。只有含铀和含钍的，射线才明显。钍的化合物非常活跃，氧化钍比纯铀还强。

然后，她看到了一件奇怪的事。两种含铀的矿石，沥青铀矿和铜铀云母，比纯铀还要活跃得多。矿石里的铀，明明比纯铀少。她在 1898 年 4 月 12 日的报告里写：这件事非常值得注意，它让人相信，这些矿石里可能含有一种比铀活跃得多的元素。

接下来的工作，是两个人一起做的。

他们用的是化学分离：把沥青铀矿溶开，一步一步分成不同的部分，每分出一批，就用静电计量一次，哪一份更活跃，就接着往哪一份追下去。

化学分离：把沥青铀矿溶开，一步步分成几份，再看放射性跟着哪一份走。

图 4　化学分离：把沥青铀矿溶开，一步步分成几份，再看放射性跟着哪一份走。

1898 年 7 月，他们得到了一种物质，比铀活跃大约 400 倍。它在化学上跟着铋走。

他们在报告里写：我们相信，这种物质里含有一种还没有人报告过的金属。如果它真的存在，我们提议叫它钋（polonium），用我们当中一个人的祖国来命名。玛丽的祖国是波兰，那时候，波兰还不是一个独立的国家：十八世纪末，它被俄国、普鲁士和奥地利瓜分，直到 1918 年才重新独立。

我们找到的最早一篇，是 1898 年 8 月 14 日利沃夫的波兰文报纸《波兰日报》（Dziennik Polski）：7 月 18 日，在巴黎科学院的会上，居里先生和玛丽亚·斯克沃多夫斯卡-居里夫人报告了一种新元素，如果它确实存在，就叫它钋。

五个月后，12 月 26 日，他们和化学家贝蒙（Gustave Bémont）一起，又报告了第二种。

这一种跟着钡走。他们得到的氯化物，活跃程度是铀的 900 倍，里面绝大部分还是钡。他们提议，把这种新元素叫作镭（radium）。报告里写：镭的放射性，一定大得惊人。

紧接着的下一页，是光谱学家德马塞（Eugène Demarçay）的报告：这种物质的光谱里，有一条不属于任何已知元素的谱线。

12 月 28 日，芝加哥的德文报纸《晚邮报》（Abendpost）在头版上写：贝克勒尔博士向巴黎科学院报告，又发现了一种新的化学物质，和钡很接近，发现者给它取名叫镭。

那间棚子

可是，要证明镭真的是一种元素，得把它单独提出来，称出它的原子量。矿石里的镭太少了。

1898 年底，奥地利政府先免费送来 100 公斤沥青铀矿的残渣，来自波希米亚的约阿希姆斯塔尔，铀已经提走了，钋和镭还留在里面。后来一共送了一吨，又允许矿上再卖给他们几吨。玛丽写道，麻袋运到的时候她高兴极了，棕色的粉末里还混着松针。

他们的实验室，是学校院子另一边一间废弃的棚子。玛丽在书里写：木板墙，沥青地，玻璃顶，下雨的时候挡不住雨。里面有几张旧松木桌，一个不太好用的铸铁炉子，还有一块皮埃尔很爱用的黑板。

她一次要处理的原料，多达二十公斤。她在英文自传里写：有时候，我得用一根差不多和我一样高的铁棍，整天搅拌一锅沸腾的东西，到晚上累得筋疲力尽。

有时候，吃过晚饭，他们又回到棚子里去看一看。提出来的产品放在桌子上、木板上。玛丽写道：四周都是它们微微发光的轮廓，那些光像悬在黑暗里，每一次都让我们激动、着迷。

这些都是她二十年后的回忆。当年的数字在她的博士论文里：1902 年 3 月，玛丽得到了 0.12 克氯化镭，光谱里还看得到钡。用它测了四次，原子量大约是 223。她又提纯了一遍，再测三次，定为 225，误差在 1 以内。今天的值是 226。

还有一件更奇怪的事。1903 年 3 月，皮埃尔和拉博德（Laborde）报告：镭盐自己在不停地放热。

他们量了 1 克含镭的氯化钡，每小时放出大约 14 卡的热。按放射性估计，这里面大约六分之一是氯化镭。换算下来，1 克镭每小时放出大约 100 卡。这么多热，够把 1 克水从冰点烧到沸腾，每个小时一次。

含镭的氯化钡不断放热。按其中镭的份额折算，一克镭每小时大约一百卡。

图 5　含镭的氯化钡不断放热。按其中镭的份额折算，一克镭每小时大约一百卡。

而且它一直在放，几年下来也看不出减少。他们算了一下：225 克镭每小时放出的热，和 1 克氢在氧气里烧掉放出的热差不多。可氢烧完就没了，镭下一个小时接着放。

1903 年 6 月，玛丽拿这些工作做了博士答辩。

卢瑟福（Ernest Rutherford）二十一年后回忆，他那年夏天到巴黎，正赶上玛丽拿学位那一天。晚上，朗之万（Paul Langevin）请他们夫妇、居里夫妇和佩兰（Jean Perrin）吃饭。十一点钟，大家走到花园里，皮埃尔拿出一管涂了硫化锌、装着镭溶液的管子，在黑暗里亮得很。他说，难忘的一天就这样收了尾。他也看见了皮埃尔的手：又红又肿，疼得厉害，是镭射线弄的。那是他唯一一次见到皮埃尔。

为什么

今天我们知道，有些原子的核不稳定。原子核由质子和中子组成。质子都带正电，互相排斥；把它们拉在一起的，是一种很强、但只在极短距离里起作用的力。核太大，或者质子和中子的比例不对，这种力就拉不稳。比铅更重的元素，没有一种是真正稳定的，铀、钋、镭都在这一边。这样的核，会在某个时刻自己裂开，放出一小块东西，变成另一种原子。这件事不需要任何外来的激发，不用晒太阳，不用加热，不用通电。贝克勒尔在诺贝尔演讲里说，这种发射和任何熟悉的激发来源都无关，无论是光、电，还是热。

质子带正电，互相排斥，把它们拉在一起的核力只在极短的距离起作用。核太大，或者质子和中子的比例不对，这种平衡就不稳。

图 6　质子带正电，互相排斥，把它们拉在一起的核力只在极短的距离起作用。核太大，或者质子和中子的比例不对，这种平衡就不稳。

所以它是原子自己的性质，和这个原子在什么化合物里、是什么温度，都没有关系。1898 年底，居里夫妇在镭的报告里写：放射性看来是一种原子的性质，在物质的一切化学和物理状态下都保持不变。

三种射线

放射性物质放出的射线，有三种。用一块磁铁就能把它们分开。贝克勒尔把几粒放射性物质放在包好的底片上，再把底片放在磁铁的两极之间。冲出来，放射源旁边只有一侧多出一大片曝光，那是被磁场弯回到底片上的射线。

贝克勒尔的磁铁实验：底片包好，放射源旁边只有一侧多出一大片曝光。

图 7　贝克勒尔的磁铁实验：底片包好，放射源旁边只有一侧多出一大片曝光。

后来，它们被叫作 α、β、γ 射线。β 射线在磁场里弯得很厉害。居里夫妇证明它带负电，它就是电子，和阴极射线一样。α 射线偏得极少，方向和 β 相反，要用很强的磁场才看得出来。它是氦原子的核，带两个正电荷。γ 射线不偏，穿透力最强，能穿过几厘米的铅，它和 X 射线是同一类，是光。

α 为什么那么难偏？它比电子重七千多倍，跑得又慢。在同一个磁场里，它弯的程度只有贝克勒尔最硬的 β 射线的三十分之一左右。居里在诺贝尔演讲里说，它像一颗带正电的弹丸，当时估计比电子重一千倍。

α 粒子比电子重七千多倍，又跑得慢，同一个磁场里只弯那么一点。

图 8　α 粒子比电子重七千多倍，又跑得慢，同一个磁场里只弯那么一点。

那么，1896 年穿过黑纸、让底片变黑的，是哪一种？穿过去的，其实是 β 和 γ。贝克勒尔在诺贝尔演讲里自己就说过，铀即使在真空里，也只发出 β 射线；他又补了一句，不排除还有一些弱得多、不偏转的射线。

穿过黑纸、让底片变黑的，其实是 β 和 γ；α 过不去。

图 9　穿过黑纸、让底片变黑的，其实是 β 和 γ；α 过不去。

而且这些 β 不是铀自己放的。铀放出 α，变成钍；钍的半衰期是 24 天，它变成镤；镤只活一分钟左右，放出一个能量很高的电子。在一块放了很久的铀盐里，它们和铀一起，一直在生、在变。贝克勒尔在抽屉里看到的影子，是这些电子留下的。

铀放出 α 变成钍-234，再放 β 变成镤。抽屉里的电子，来自这些子体。

图 10　铀放出 α 变成钍-234，再放 β 变成镤。抽屉里的电子，来自这些子体。

底片分不清光和电子。照相底片上是一层很小的溴化银颗粒。光照上去，把能量交给颗粒，颗粒里就留下一个看不见的潜影，显影的时候变成黑色的银。电子穿过颗粒，也把能量交给它。对底片来说，两者是一样的。

光把能量交给溴化银颗粒，电子穿过颗粒也一样。对底片来说，两者没有分别。

图 11　光把能量交给溴化银颗粒，电子穿过颗粒也一样。对底片来说，两者没有分别。

热从哪里来

镭放出的热，又是从哪里来的？皮埃尔在诺贝尔演讲里说，玛丽在 1899 年和 1900 年提过两种可能。一种是，放射性物质从外面某种看不见的辐射里借来能量。另一种是，能量来自物质自己：它们在慢慢变成别的东西，只是变得太慢，几年都看不出来。

第二种是对的。1902 年，卢瑟福和索迪（Frederick Soddy）写道：这些变化一定发生在原子内部，放射性元素一定在自发地转变。

皮埃尔在演讲里说，这是一个真正的元素嬗变理论，但不是炼金术士理解的那种。

今天，这件事可以算清楚。一个镭原子核放出一个 α 粒子，变成氡的原子核。把两边放在天平上称：镭核比氡核加 α 粒子，重了一点点，0.005229 个原子质量单位。

{}^{226}\mathrm{Ra} \to {}^{222}\mathrm{Rn} + \alpha, \qquad \Delta m = 0.005229\ \mathrm{u}

多出来的这一点质量，按 $E = mc^2$ 换成能量，正好是 4.87 兆电子伏特。它几乎全由 α 粒子带走，氡核反冲只分到五十多分之一。爱因斯坦的这个公式是 1905 年才写出来的，1903 年还没有。

把两边放上天平：镭核比氡核加 α 重一点。多出来的质量，按 E = mc² 就是放出的能量。

图 12　把两边放上天平：镭核比氡核加 α 重一点。多出来的质量，按 E = mc² 就是放出的能量。

只算镭自己的 α，每克每小时只有 25 卡。可是镭放着不动，它生出来的氡，和氡后面的子体，也在放 α。镭自己一个，氡和它后面的子体再三个，几个星期里一共放出 4 个 α。把它们都算上，每克每小时大约 123 卡。居里和拉博德量到的「大约 100」，正落在这两个数之间。

一个化学反应，每个原子放出的能量是几个电子伏特。一个镭原子，光是这头四次 α，就放出 2400 多万电子伏特。差了几百万倍。他们说，这不能用任何普通的化学变化来解释，就是这个意思。

还有一个问题：镭为什么比铀强那么多？贝克勒尔说，大约强一百万倍；居里说，两百万倍的量级。差别不在每一次放出的能量。镭和铀每次放出的 α，能量差不多。差别在频率：同样多的原子，镭每秒裂开的个数，是铀的几百万倍。这一点，下一节可以算出来。

差别在频率：同样多的原子，镭每秒裂开的个数比铀多得多。

图 13　差别在频率：同样多的原子，镭每秒裂开的个数比铀多得多。

从头算一遍

一堆原子。每一个什么时候裂开，没有人知道，也没有办法让它快一点或者慢一点。但每一瞬间，裂开的比例是一样的。

取一小段时间 $dt$ 。这段时间里裂开的个数，和现有的个数 $N$ 成正比，也和这段时间的长短成正比。比例系数叫 $\lambda$ ，它是这种原子自己的性质：

dN = -\lambda N\, dt

两边除以 $N$ ，再积分，就得到解：

\frac{dN}{N} = -\lambda\, dt \quad\Longrightarrow\quad N(t) = N_0\, e^{-\lambda t}

每一瞬间少同样的比例，合起来就是指数衰减。随机在每一个原子身上，规律在一大堆原子身上。

如果每一段时间少的是同样的个数，那是一条直线，很快就落到零。少同样的比例，是一条曲线，越来越平，永远不到零。

每段时间少同样的个数是一条直线；少同样的比例是一条曲线，越来越平。

图 14　每段时间少同样的个数是一条直线；少同样的比例是一条曲线，越来越平。

数目减到一半要多久，叫半衰期。让 $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac12$ ，得到：

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

再过一个半衰期，剩四分之一；再过一个，剩八分之一。

数目减到一半要多久，叫半衰期。再过一个半衰期，剩四分之一；再过一个，剩八分之一。

图 15　数目减到一半要多久，叫半衰期。再过一个半衰期，剩四分之一；再过一个，剩八分之一。

代进数去。皮埃尔在演讲里说，钋每 140 天减少一半，几年以后几乎完全消失。算一算：

2^{-365/140} \approx 16\%, \qquad 2^{-3\times 365/140} \approx 0.4\%

一年以后剩六分之一，三年以后剩千分之四。

镭的半衰期是 1600 年。五年下来：

1 - 2^{-5/1600} \approx 0.2\%

只少千分之二。当年说镭几年里看不出减少，没有错：千分之二，那时还量不出来。

每秒裂开的个数，叫活度，它等于 $\lambda$ 乘原子的个数。1 克镭里有 $2.664 \times 10^{21}$ 个原子， $\lambda = 1.373 \times 10^{-11}\ \mathrm{s}^{-1}$ ：

A = \lambda N = 1.373 \times 10^{-11}\ \mathrm{s}^{-1} \times 2.664 \times 10^{21} \approx 3.66 \times 10^{10}\ \mathrm{s}^{-1}

1 克镭每秒裂开大约 370 亿个。这个数后来成了一个单位，就叫居里。

最后回到那个问题：镭为什么比铀强一百万倍？铀的半衰期是 44.7 亿年，是镭的将近三百万倍。同样多的原子，镭每秒裂开的个数，就是铀的将近三百万倍。同样重的话，还要乘上原子量的反比：

\frac{A_{\mathrm{Ra}}}{A_{\mathrm{U}}} = \frac{T_{\mathrm{U}}}{T_{\mathrm{Ra}}} \cdot \frac{M_{\mathrm{U}}}{M_{\mathrm{Ra}}} = \frac{4.468 \times 10^{9}}{1600} \times \frac{238}{226} \approx 3 \times 10^{6}

真拿同样重的两块来比，铀块里还混着一直和它一起衰变的铀-234，算上它，和刚提纯的镭比是一百四十万倍。镭放上一个月，它的子体也跟上来，按 α 的个数就成了五百八十万倍。贝克勒尔说一百万倍，居里说两百万倍，量的是电离电流，都在这个量级上。

铀的半衰期是镭的将近三百万倍，所以同样多的原子，镭每秒裂开的个数也是铀的将近三百万倍。

图 16　铀的半衰期是镭的将近三百万倍，所以同样多的原子，镭每秒裂开的个数也是铀的将近三百万倍。

1903 年 12 月，斯德哥尔摩

1903 年 1 月，法国数学家庞加莱起草了一封诺贝尔奖的提名信，二十位法国科学院院士签了名。信里说，这个发现要归功于贝克勒尔先生和居里先生，提议奖金由他们两人分享。信里没有玛丽。

一位居里博物馆的研究员在 2017 年的论文里，引用了皮埃尔 1 月 25 日写给庞加莱的一封信。信里说：是她有勇气开始用化学去找新元素，分离镭的所有步骤是她做的，镭的原子量是她测的。如果不把我们当作一体，那就等于说，她只是一个实验助手，这不符合事实。

最后，玛丽能在名单上，靠的是另一条提名。布沙尔（Charles Bouchard）那一年的提名，把三个人都写上了。

1903 年 11 月 12 日，瑞典皇家科学院决定：这一年的物理学奖，一半给贝克勒尔，表彰他发现了自发的放射性；另一半给皮埃尔·居里和玛丽·居里，表彰他们对贝克勒尔教授发现的辐射现象所做的共同研究。

居里夫妇的证书上写的是：给皮埃尔·居里和他的妻子玛丽·居里夫人（till PIERRE CURIE och hans hustru fru MARIE CURIE）。证书上提到贝克勒尔，名字还拼错了，少了一个 c（Bequerel）。

12 月 10 日颁奖。瑞典皇家科学院院长 Törnebladh 在演说里说：居里教授和夫人的成功，最好地说明了一句老话，团结就是力量。这让我们用全新的眼光去看上帝的话：那人独居不好，我要为他造一个配偶帮助他。

他还说，要得到零点几克这种活跃的物质，需要一千公斤的原料。

居里夫妇没有来。院长说，两位得主事务缠身，不能到场，由法国公使马尔尚（Marchand）代领。

他转向贝克勒尔，对他说：你的胜利，有力地驳倒了那句古老的断言，我们不知道，我们也永远不会知道。

玛丽是第一位获得诺贝尔奖的女性。

12 月 11 日，贝克勒尔做了诺贝尔演讲，题目是《论放射性：物质的一种新性质》。讲到 1896 年的发现，他是这么说的：先把铀盐晒了几个小时，冲出了影子，很快就认识到，这种发射和光无关。阴天和抽屉，他一句也没提。

镭后来成了一门生意。玛丽在书里写：我们没有申请任何专利，提取镭的方法，我们毫无保留地发表了。

居里夫妇一年半以后才到斯德哥尔摩。1905 年 6 月 6 日，皮埃尔做了诺贝尔演讲，题目是《放射性物质，特别是镭》。开头，他为迟到道歉：我们这么晚才来斯德哥尔摩拜访各位，是出于我们无法控制的原因。玛丽没有做演讲。

他从巴黎带来了一管镭放出的气体，在台上演示：它让验电器放电，让硫化锌发光。

演讲的最后，他提醒大家：把一小管镭盐放进口袋，几个小时里什么感觉都没有；可十五天以后，皮肤会发红，然后溃烂，很难治好。时间再长，会瘫痪，会死。镭必须装在厚厚的铅盒里运送。

他还说，镭落在罪犯手里会变得非常危险。最后一句是：我和诺贝尔一样，相信新的发现带给人类的好处，会多于坏处。

档案里写了什么

诺贝尔奖的提名档案，现在是公开的。1903 年的物理学奖，一共有 35 条提名。

和这三个人有关的是 6 条，玛丽只出现在 1 条里：

提名人	被提名
贝特洛	贝克勒尔
布沙尔	贝克勒尔、玛丽·居里、皮埃尔·居里
达布	贝克勒尔、皮埃尔·居里
李普曼（Gabriel Lippmann）	贝克勒尔、皮埃尔·居里
马斯卡尔（Éleuthère Mascart）	贝克勒尔、皮埃尔·居里
庞加莱	贝克勒尔、皮埃尔·居里

那篇 2017 年的论文说，联名信的二十个签名人里，只有四个人有提名权：庞加莱、马斯卡尔、李普曼、达布。档案里写「贝克勒尔、皮埃尔·居里」的，正好是这四条。一边是信，一边是档案，来源不同，数目对得上。

玛丽并不是从来没被提过。1902 年，达布和瓦尔堡（Emil Warburg）的提名都写了她。同一位达布，1902 年写了玛丽，1903 年没写。为什么，档案页上没有说。

这一年夏天，皮埃尔又写信给瑞典数学家米塔-列夫勒（Gösta Mittag-Leffler），说如果真的在考虑他，希望把他和居里夫人当作一体。米塔-列夫勒私下去问庞加莱：是给居里先生和夫人更公平，还是贝克勒尔一份、居里夫妇一份？庞加莱回信说，分开更公平，因为贝克勒尔是开创者。

这几封信我们没有见到原件，都是那篇论文转引的。玛丽当时知不知道皮埃尔在为她争，论文的作者说：我们不知道。

其余 29 条里，阿伦尼乌斯（Svante Arrhenius）和瑞利（Lord Rayleigh）各 7 条，马可尼（Guglielmo Marconi）6 条。阿伦尼乌斯当年得了化学奖，瑞利第二年得了物理学奖。还有一条提名李普曼，提名人是贝克勒尔本人。玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）也得了 1 条，他一生没有得奖。

网上还流传着几个说法，也说一下。

「玛丽把镭放在床头当夜灯」：她自己的书里没有。她写的发光，是夜里回棚子看到的那些轮廓。这个细节据说来自 2005 年的一本传记，那本书我们没有看到。

「她把英国皇家学会的金质奖章给小女儿当玩具，说荣誉就像玩具」：她的书里没有，我们也没有找到别的来源。

「皮埃尔的车祸：马车重六吨，装着军装，雨伞挡了视线」：玛丽的书和朗之万当年的文章里都没有。这几个细节如果有来源，大概在 1906 年的法国报纸里，那些报纸我们没能打开。

「玛丽是第一位进先贤祠的女性」：密特朗的原话是第一位凭自己的功绩（honorée pour ses propres mérites）。

「钋那篇论文是放射性这个词第一次出现」：radio-active 在那篇里只出现在标题里，是不是第一次，这篇论文本身证明不了。

「第一位获诺贝尔奖的女性」是对的，不过官网没有这句话。官网的女性得主名单里，她是最早的一行，下一位是 1905 年和平奖的苏特纳（Bertha von Suttner）。

奖金

1903 年的奖金是 141,358 瑞典克朗，是 1901 年的 91%。贝克勒尔得一半，70,679 克朗；居里夫妇两个人合得另一半。

之后

1905 年 7 月，皮埃尔当选法国科学院院士。

1906 年 4 月 19 日，皮埃尔在巴黎的多菲纳街过马路，被一辆从新桥方向来的货车撞倒，倒在车轮下，当场死去。他 46 岁。

玛丽在书里写，他回巴黎参加物理学会的聚餐，坐在庞加莱旁边，谈了很久怎么教书。那年 12 月，庞加莱在科学院的年会上说：他死前那个晚上，我就坐在他旁边，他跟我讲他的计划和想法；第二天，一切在一瞬间化为乌有。

同一年，玛丽接替了他在索邦的课。两年以后，她成为正教授。

1908 年 8 月，贝克勒尔突然去世，55 岁。

1911 年 1 月，玛丽参选法国科学院院士。第二轮，58 人投票，布朗利（Édouard Branly）30 票，她 28 票，落选了。二十三年后，科学院在给她的悼词里说，她当年得到的票数，第一次参选的人很少能达到；那时候争论的是女性该不该进学院；她后来再也没有答应重新参选。

同一年 12 月，她一个人获得了诺贝尔化学奖。这一次，她去了斯德哥尔摩。诺贝尔官网说，她是第一个获得两次诺贝尔奖的人。

1921 年 5 月 20 日，在白宫，美国总统哈定（Warren Harding）把一小瓶镭交到她手里。那是 1 克镭，是美国妇女自愿捐款买来的。

据在场的组织者梅隆尼（Marie Mattingly Meloney）回忆，交接的前一天晚上，玛丽看了赠与的文书，坚持这克镭不能归她个人，要永远归科学使用，而且要当晚就改好：明天我就要接过这些镭，可我明天也可能死去。

1934 年 7 月 4 日，玛丽去世，66 岁。科学院五天后的悼词说，这场短暂的病，看来是她每天工作中受到的辐射造成的。纽约医学会的悼文说，她死于恶性贫血，很可能是长期接触镭造成的。

她那几年的实验笔记，今天还在。常听到说，这些笔记本至今还有放射性，锁在铅盒里，读者要签免责书、穿防护服才能看。法国国家图书馆自己的说法是：污染最重的几页被封装起来，原件只在很特殊的申请下才能看；展览的时候，在两本笔记前站 10 分钟，受到的剂量非常小，大约 2 纳希沃特。铅盒、免责书、防护服，图书馆的页面上都没有。

1995 年 4 月 20 日，皮埃尔和玛丽的遗骨被迁进巴黎先贤祠。法国总统密特朗（François Mitterrand）说，她是我们历史上第一位凭自己的功绩进入先贤祠的女性。

今天，放射性活度的国际单位叫贝克勒尔，每秒一次衰变，就是 1 贝克勒尔。还有一个老单位，叫居里。

一张被黑纸包住的底片，几天没出的太阳，一个抽屉。从这里，我们知道了原子会自己裂开，变成另一种原子。

下一集是 1904 年，瑞利：空气里的氮，比化学方法制出来的氮重了千分之五。

附录 A　物理推导

正文「热从哪里来」和「从头算一遍」用到四件事，当时都只给了结果：为什么是 4 个 α，25 卡和 123 卡怎么来，α 为什么比 β 难偏三十倍，镭比铀强多少倍。这个附录把它们推一遍。所有数字都由脚本算过，质量和半衰期用的是 IAEA 的数据表。

本附录符号

符号	含义
y，d	年，天
$N_i$ ， $A_i$	第 $i$ 种原子核的个数、活度， $A_i = \lambda_i N_i$ ，单位「每秒」
$\lambda_i$ ， $T_i$	衰变常数、半衰期， $T_i = \ln 2/\lambda_i$
$m_{\mathrm X}$ ， $M_{\mathrm X}$	X 的原子质量；只取质量数时写 $M$
$Q$	一次衰变放出的能量
$N_A$	阿伏伽德罗常数
$B$ ， $q$ ， $p$ ， $r$	磁场、粒子电荷、动量、圆周半径
$\gamma$	洛伦兹因子，只在 A.3 用到
卡	1 卡 $= 4.184$ 焦耳

A.1　衰变链和长期平衡

定义 A1.1（两级衰变）。第 1 种原子核衰变成第 2 种，第 2 种再衰变下去。个数满足

\frac{dN_1}{dt} = -\lambda_1 N_1, \qquad \frac{dN_2}{dt} = \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2. \tag{A1.1}

第二个式子的两项，一项是生出来的，一项是衰变掉的。

命题 A1.2. 若 $N_2(0) = 0$ ，则

A_2(t) = A_1(0)\,\frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}\left(e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}\right). \tag{A1.2}

证明. 由 (A1.1) 的第一式， $N_1 = N_1(0)\,e^{-\lambda_1 t}$ 。第二式两边乘 $e^{\lambda_2 t}$ ，左边合成一个全导数：

\frac{d}{dt}\left(N_2\, e^{\lambda_2 t}\right) = \lambda_1 N_1(0)\, e^{(\lambda_2 - \lambda_1) t}.

从 0 积到 $t$ ，代入 $N_2(0) = 0$ ，再乘 $\lambda_2 e^{-\lambda_2 t}$ ，即得 (A1.2)。(证毕)

推论 A1.3（长期平衡）。由 (A1.2)，

\frac{A_2}{A_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}\left(1 - e^{-(\lambda_2 - \lambda_1)t}\right). \tag{A1.3}

若 $\lambda_1 \ll \lambda_2$ ，即母体比子体长寿得多，则 $A_2/A_1 \approx 1 - e^{-\lambda_2 t} = 1 - 2^{-t/T_2}$ 。过了几个 $T_2$ ，两者活度相等，子体的个数停在

\frac{N_2}{N_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{T_2}{T_1}. \tag{A1.4}

注 A1.4. 这个结果不需要解方程也能看出来。子体越积越多，衰变掉的也越来越多，直到每秒衰变掉的等于每秒生出来的，数目就不再变了。(A1.3) 的极限其实是 $1/(1 - T_2/T_1)$ ，对氡和镭只比 1 大 $6.5\times10^{-6}$ 。

例 A1.5（氡跟上镭）。 $T_2 = 3.82$ 天，由 (A1.3)：

放置时间	1 天	3.82 天	7 天	14 天	30 天
氡的活度 / 镭的活度	16.6%	50.0%	71.9%	92.1%	99.6%

这就是正文说的「几个星期」。由 (A1.4)，和 1 克镭平衡的氡只有 6.4 微克。

例 A1.6（镭在铀矿里有多少）。铀-238 经过几代变到镭，放得足够久以后，每一代的活度都等于铀-238 的活度。由 (A1.4)， $N_{\mathrm{Ra}}/N_{\mathrm U} = 1600\ \mathrm{y} / (4.468\times10^{9}\ \mathrm{y}) = 3.58\times10^{-7}$ ，乘上质量比 226/238，每吨铀-238 配 0.34 克镭。矿石里的镭，到顶就是这么多。

4 个 α 从哪里来。 镭以下这一段（千分之一以下的分支不计）：

核	半衰期	衰变	$Q$ （MeV）
镭-226	1600 年	α	4.871
氡-222	3.82 天	α	5.590
钋-218	3.10 分钟	α	6.115
铅-214	27.1 分钟	β
铋-214	19.7 分钟	β
钋-214	164 微秒	α	7.834
铅-210	22.2 年

氡后面四代都不到半小时，所以它们紧跟着氡。氡是这一段里最慢的一环，整段的速度由它决定。走到铅-210 就卡住了，它的半衰期是 22 年。我们把这 7 种核的方程直接数值积分：60 天时，从氡到钋-214 的活度都和镭相差不到千分之一，铅-210 还不到镭的 0.5%。

所以「几个星期」里，每个衰变的镭核后面跟着 3 个 α，一共 4 个。第 5 个 α 来自钋-210，排在铅-210 后面，要等几十年。一路走到稳定的铅-206，一共 5 个 α，放出 35.33 MeV。

注 A1.7. 氡是气体。样品没有封好，氡跑掉了，后面三个 α 就不在样品里放了。平衡是封闭样品的事。

A.2　Q 值和 25 / 123 卡

定义 A2.1. 镭-226 放 α 变成氡-222，放出的能量是

Q = \left(m_{\mathrm{Ra}} - m_{\mathrm{Rn}} - m_{\mathrm{He}}\right)c^2. \tag{A2.1}

这里用原子质量：左边 88 个电子，右边 86 + 2 个，电子正好抵消。

例 A2.2. $m_{\mathrm{Ra}} = 226.0254082$ ， $m_{\mathrm{Rn}} = 222.0175760$ ， $m_{\mathrm{He}} = 4.0026033$ （单位 u）。差 $\Delta m = 0.005229$ u，乘 931.494 MeV/u， $Q = 4.8707$ MeV。IAEA 表上的 $Q$ 值也是 4.8707。

命题 A2.3（能量怎么分）。衰变前镭核静止，则

E_\alpha = Q\,\frac{m_{\mathrm{Rn}}}{m_{\mathrm{Rn}} + m_{\alpha}}, \qquad E_{\mathrm{Rn}} = Q\,\frac{m_{\alpha}}{m_{\mathrm{Rn}} + m_{\alpha}}. \tag{A2.2}

证明. 动量守恒，两者动量大小相等，记为 $p$ 。这里速度远小于光速，动能 $E = p^2/2m$ ，所以动能和质量成反比。又 $E_\alpha + E_{\mathrm{Rn}} = Q$ ，即得 (A2.2)。(证毕)

代入数字， $E_\alpha = 4.784$ MeV， $E_{\mathrm{Rn}} = 0.086$ MeV，反冲约占 56 分之一。测到的最强那条 α 线正是 4.784 MeV（占 94%）。这是一个独立的核对：(A2.1) 用的是称出来的质量，这条线是量出来的能量。

命题 A2.4（热功率）。1 克镭每秒衰变 $A$ 次，每次放出 $Q$ ，放热功率就是 $AQ$ 。其中

N = \frac{N_A}{M} = 2.664\times10^{21}, \quad \lambda = \frac{\ln 2}{1600\ \mathrm{y}} = 1.373\times10^{-11}\ \mathrm{s^{-1}}, \quad A = \lambda N = 3.658\times10^{10}\ \mathrm{s^{-1}}. \tag{A2.3}

每次衰变放出 1 MeV，对应 1 克镭每小时 5.042 卡。

证明. $3.658\times10^{10}\ \mathrm{s^{-1}} \times 1.602\times10^{-13}$ 焦耳 $\times\, 3600$ 秒 $\div\, 4.184$ 焦耳每卡 $= 5.042$ 卡。(证毕)

例 A2.5. 乘上每一步的 $Q$ ：

	镭-226	氡-222	钋-218	钋-214	合计
$Q$ （MeV）	4.871	5.590	6.115	7.834	24.41
卡 / (克·小时)	24.6	28.2	30.8	39.5	123.1

这就是 25 和 123，约合 0.143 瓦。这里假定 α 和反冲核的能量都留在样品里，厚一点的样品是这样。

由 (A1.3)，一块新提纯的镭，放热随时间上升， $P(t) \approx 24.6 + 98.5\,(1 - 2^{-t/3.82\ \mathrm{d}})$ ：

放置时间	1 天	3.82 天	7 天	14 天	30 天
卡 / (克·小时)	41	74	95	115	123

注 A2.6. 还有两次 β。电子平均带走 0.87 MeV，算上它们是 127 卡。γ 大多穿出样品，不一定算在量热器里。居里和拉博德量到「大约 100」，用的是含镭的氯化钡，换算到每克镭约 110。他们样品的放置时间和封闭情况我们没有细查，所以这里只说量级相符。

注 A2.7. 一个化学键是几个 eV，比如氢燃烧每个水分子放出约 3 eV。4 个 α 放出 $2.44\times10^{7}$ eV，相差约 800 万倍。

A.3　α 和 β 的弯曲半径比

命题 A3.1. 电荷为 $q$ 、动量为 $p$ 的粒子，垂直进入磁场 $B$ ，圆周半径是

r = \frac{p}{|q|B}. \tag{A3.1}

相对论情形同样成立， $p = \gamma m v$ 。

证明. 洛伦兹力垂直于速度，不改变速率，所以 $\gamma$ 不变。圆周运动要求 $\gamma m v^2/r = |q|vB$ ，消去 $v$ 即得 (A3.1)。(证毕)

所以决定弯曲的是每单位电荷的动量 $p/|q|$ ，和质量没有直接关系。

例 A3.2. 4.784 MeV 的 α， $v/c = 0.051$ ， $p = 188.9$ MeV/ $c$ ，电荷 $2e$ 。β 要用相对论： $p = \sqrt{T^2 + 2Tm_ec^2}/c$ ， $T$ 是动能。 $B = 1$ 特斯拉时：

	动能（MeV）	$v/c$	$p$ （MeV/ $c$ ）	$r$ （厘米）	α 的半径 / 它的半径
α（镭-226）	4.784	0.051	188.9	31.5
β（铋-214，最硬）	3.269	0.991	3.745	1.25	25
β（镤-234m，最硬）	2.270	0.983	2.734	0.91	35
β（1 MeV）	1.000	0.941	1.422	0.47	66
β（0.1 MeV）	0.100	0.548	0.335	0.11	282

正文「三十分之一左右」说的是最硬的 β，就在 25 和 35 之间。β 的能量是连续的，软的那些弯得更厉害，所以这个比值不是一个固定的数。我们也直接积分了洛伦兹力：α 在 1 特斯拉里转一圈，半径 31.47 厘米，和 (A3.1) 的 31.51 厘米相差 0.1%。

注 A3.3（为什么不是几千倍）。α 比电子重 7295 倍，带 2 倍电荷。如果两者一样快，半径比是 3647。可是 α 慢， $v/c = 0.051$ ；最硬的 β 接近光速， $\gamma = 7.4$ ，动量又多了几倍。 $3647 \times 0.051 / (7.40 \times 0.991) = 25$ 。

A.4　镭铀活度比和铀-234

命题 A4.1. 同样质量 $m$ 的两种纯核素，活度比是

\frac{A_{\mathrm{Ra}}}{A_{\mathrm U}} = \frac{T_{\mathrm U}}{T_{\mathrm{Ra}}}\cdot\frac{M_{\mathrm U}}{M_{\mathrm{Ra}}}. \tag{A4.1}

证明. $A = \lambda N$ ， $\lambda = \ln 2/T$ ， $N = mN_A/M$ ，所以 $A = (\ln 2)\,mN_A/(TM)$ 。两式相除， $\ln 2$ 、 $m$ 、 $N_A$ 都消去。(证毕)

代入 $T_{\mathrm U} = 4.468\times10^{9}$ 年、 $T_{\mathrm{Ra}} = 1600$ 年：同样多的原子是 $2.79\times10^{6}$ 倍，同样重是 $2.94\times10^{6}$ 倍。

铀-234. 真实的铀不是纯铀-238。铀-238 放 α 变成钍-234（24 天），再经镤-234m（约 1 分钟）变成铀-234，后者半衰期 24.55 万年，又放 α。这三代比铀-238 短命得多，所以放久的铀里都已平衡。由 (A1.4)：

\frac{N_{234}}{N_{238}} = \frac{2.455\times10^{5}}{4.468\times10^{9}} = 5.5\times10^{-5}. \tag{A4.2}

天然铀里实测的丰度比是 $0.0054\% / 99.2742\% = 5.4\times10^{-5}$ ，相差 1%。这是一个独立的核对：丰度是质谱量出来的，(A4.2) 只用了两个半衰期。

例 A4.2（1 克天然铀每秒放多少个 α）。

	铀-238	铀-234	铀-235	合计
α / 秒	12346	12346	576	25268

铀-238 和铀-234 活度相等，这就是平衡。铀-235 占重量的 0.72%，半衰期短得多，贡献 4.7%。于是

\frac{3.658\times10^{10}}{2.527\times10^{4}} = 1.448\times10^{6}. \tag{A4.3}

正文的一百四十万倍就是这个数。把铀-234 拿掉，是 $2.83\times10^{6}$ 。

注 A4.3（这个比值比的是什么）。(A4.3) 的铀算上了子体铀-234，镭却只算它自己，所以它比的是刚提纯的镭和放久的铀。镭放上一个月，由 A.1，每个镭核跟着 4 个 α，按 α 的个数算，比值就成了 $4 \times 3.658\times10^{10} / 2.527\times10^{4} = 5.8\times10^{6}$ 。贝克勒尔的一百万倍和居里的两百万倍，量的都是空气的电离电流，不是 α 的个数。α 的射程、样品的厚度、放置的时间都会影响这个电流，所以只能比量级，不能用来判定哪个数更对。

参考来源

按正文第一次出现的顺序编号。【一手】= 原始文献、当时的报刊或机构自己的著录；【二手】= 后人的研究或转述；【本人回忆】= 玛丽·居里事后的著作，对她自己是第一手，但写于事后二十年前后。

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Radium—the Wizard Metal，Harper’s Weekly，1903-04-25（archive.org sim_harpers-weekly_1903-04-25_47_2418）【一手】：https://archive.org/details/sim_harpers-weekly_1903-04-25_47_2418
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Mme Curie，Pierre Curie（Paris：Payot，1924），维基文库全文；M. Curie，Pierre Curie，附 Autobiographical Notes 和 M. M. Meloney 引言（New York：Macmillan，1923），古登堡 #69617【本人回忆】：https://fr.wikisource.org/wiki/Pierre_Curie_(Marie_Curie)/Texte_entier · https://www.gutenberg.org/ebooks/69617
Danlos、P. Bloch，Note sur le traitement du lupus érythémateux par des applications de radium，Annales de dermatologie et de syphiligraphie，1901 年第 2 卷，pp.986–988（archive.org sim_annales-de-dermatologie-et-de-venereologie_1901_2）【一手】：https://archive.org/details/sim_annales-de-dermatologie-et-de-venereologie_1901_2
美国国家档案馆博客，The Radium Girls at the National Archives，2018-01-04【二手·机构】：https://text-message.blogs.archives.gov/2018/01/04/the-radium-girls-at-the-national-archives/
Science 75（1932-04-08 增刊），p.9（archive.org sim_science_1932-06-24_75_1956；archive.org 标成 6 月 24 日，页眉印 4 月 8 日）【一手】：https://archive.org/details/sim_science_1932-06-24_75_1956
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